Question

已知函数y=f(x)的图象与函数y=a^x(a>0)的图象关于y=x对称，

记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间[1/2，2]上是增函数，则实数的a取值范围

Answer 1

函数y=f(x)的图象与函数y=a^x(a>0)的图象关于y=x对称，
所以f(x)是 y=a^x的反函数
f(x)=loga x
g(x)=loga x(loga x+(loga 2)-1)
g(x)=0 的两根满足 loga x=0 或 loga x+ (loga 2) -1=0
设t= loga x
g(t)=t(t+(loga 2)-1)
对称轴是 t=(1-loga 2)/2
1.当 a>1的时候 ,要函数在区间[1/2，2]上是增函数，必须满足轴在区间以左
即 t<=1/2
1-loga 2<=1 loga 2>=1=loga a
a>1是增函数 所以必须 2>=a a=<2
即得到 1<a<=2
2.当 0<a<1 的时候。loga x是减函数 ，所以 必须满足轴在区间以右
1-loga 2>=4 loga2 <=-3=loga a^(-3)
0<a<1 ，所以 2>= a^(-3)
a>=2^(-1/3)
即 得到 2^(-1/3) =<a<1

综上 a的取值范围是 1<a<=2 并 2^(-1/3) =<a<1