空间里A，B两点 质点P从A点释放后，沿什么样的轨迹运动使其到达B点所需时间最短
但费马原理我搞不懂
哪个好心人做一下这道题，最好再解释一下费马原理
我……还是不会
要考虑重力 它速度一直在变怎么办 展开
费马原理物理光学部分的内容如下
光始终选择空间中最快的路径（费马路径）。
虽然仅有一句话，但是由它可以直接得到折射定律，甚至整个几何光学的内容都可以由它推出。
我们看一下这句话是怎么起作用的。首先，在空气中，光速不变，那么从A点到B点必然是要走直线才是最快的，也就是说，费马原里可以推出，空间中光沿着直线传播。
再看折射，如图，如果黑色线代表界面，那么从上面物体A到下面物体B的路径是什么呢？
假设界面上的介质折射率为n1，界面下的为n2
那么，如何选择时间最短路径呢？
光在界面上的传播速度是V1 = c/n1
界面下是V2 = c/n2
假设入射角为a，折射角为b，显然满足
h1*tana + h2 tanb = L
并且我们要求的是
t = (h1/cosa)/V1 + (h2/cosb)/V2
的最小值。
这里我们为了化简简便，不使用h1h2
而是使用L被O点分成的两部分x和y
则上面的两个方程满足
L = x + y
t = sqrt(h1^2 + x^2)/V1 + sqrt(h2^2 + y^2)/V2
将V1 = c/n1
V2 = c/n2
y = L - x
代入，得到
tc = sqrt(h1^2 + x^2)n1 + sqrt(h2^2 + (L-x)^2)n2
对其求导，等于0时候就是tc的最小值。
此时解得
xn1/sqrt（h1^2 + x^2）= yn2/sqrt(h2^2 + y^2)
于是，我们有 n1sina=n2sinb
就是折射定律。
费了这么多功夫，我们证明了，光在空间走的路径就是时间最短的路径。
那么，如果某个质点的速度也是在不同空间区域内不同的，那它的情况就和光一样，也就是它的路径满足光路的时候用时间最短。
例如下面一道题
一个人在搞铁人三项比赛，要从陆地上A点到河对岸的B点（就用我们刚刚搞光路的那个图吧，黑色界面就是河岸）已知他在水中的速度是陆地上的一半，求他在哪里下水到达B用的时间最少。
这里就可以直接用费马定理啦，水中速度是陆地上一般，就是说，可以认为水中的折射率是陆地上的两倍，从而得到sina=2sinb
然后再根据已知的h1 h2 和L解方程就可以得到B的坐标啦
其实用的就是类比，用光路（自动选择最短时间）来类比我们要解的问题（质点运到时间最短）
根据你的问题补充，我理解哦，这应该是最著名的最速降线问题。
题目是这样的
如果我们给一个光滑的轨道连接空间中不同高度的AB两点，然后让一个物体从较高的A点自由下落，问这个轨道是什么形状可以让这个物体在最短时间内到达B点。
百度百科上有解答，在我给出的参考资料里
然而，就像百科上说的，严格解必然牵扯到变分法。变分是大学经典力学里面才会学到的。
高中竞赛，一般是用费马原理来解
如果要用费马原理来解，要用到微分法
就像你说的，如果有重力，速度一直在变，那么怎么算呢？
很简单，我们把AB之间的空间划分成n个水平的层，当n很大，也就是每一层非常薄的时候，可以认为质点在这一层里是匀速运动的。
根据能量守恒律，可以知道，在降低了h高度后，其速度为sqrt(2gh)
我们把AB之间的高度差分成t份，如果平均分的话，每一层的厚度是h/t
在每一层结束时候的速度满足
vi = sqrt(2gih/t)
每一层开始的速度、结束的速度、中心的速度都可以用来作为着一层的速度，因为当t趋向无限大的时候，它们都是一样的。
那么好，最后一层的速度就是vt = sqrt(2gh)
假设最后一层的折射率是1，那么，第i层的折射率就是
sqrt(t/i)
好，下面是光学问题
假设在最后一层它的速度与垂直方向的夹角是a，设sina = z
可以知道，上一层的夹角的sin值是zsqrt(1-1/t)
上面第i层光线与竖直方向夹角的sin值是 zsqrt(i/t)
好，最后水平方向列方程了
第i层的水平方向长度满足：Li = (h/t)tanai
= (h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
我们现在所需要知道的就是z
你可以用求和的方法求出z
就是对所有的Li求和，等于AB的水平距离。
当然，你也可以先把轨迹方程做出来，再确定其中的参数z
既然，t趋向于正无穷大，我们就可以有
h/t = dy
那么i/t = y/h
这里y以出发点A为原点，向下为正方向。
代入上面的Li = (h/t)tanai = (h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
得到，dx = dy z sqrt(y/h)/sqrt(1-z^2y/h)
化简得到dx = zsqrt[y/(h-z^2y)]dy
好，积分就可以了。这里使用换元法
zsqrt(y/h) = sinb
则有y = (h/z^2 )(sinb)^2
然后代入dx的表达式，不要忘记dy里的y也要代入的。然后，本来积分是从0到y，现在积分是从0到arcsin[zsqrt(y/h)]
积分出来就是x = (h/2z^2)(2b - sin2b)
参考资料： http://baike.baidu.com/view/500491.htm
使A、B两点重合，这时距离最近（接近于零）
地震学中的费马原理：地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理对折射定律的证明
假设光从介质n_1入射到介质n_2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，建立直角坐标系;在入射光线上任取一点A(x_1, y_1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x_2, y_2)。 AB之间的距离为\sqrt, BC之间的距离为\sqrt。 由费马原理可知，光从A点经过B点到C点，所用的时间t 应该是最短的。t=\left(\frac\right)(ABn_1+BCn_2), t 取最小值的条件是\frac=0。 经整理得 \frac = \frac, \sin\theta_1 = \frac 且 \sin\theta_2 = \frac 即 n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 (Snell's law) 。在高中我们学了光在不同介质中发生折射，关于光在不同介质中发生折射，它们产生的入射角和反射角可以用数学方程，实际上费马原理指出，光线在A,B两点之间的传播距离的实际路径，与其他可能的邻近的路程相比，其光程为极值。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
答案我记得是 摆线
这是牛顿一开始做的.
用到费马原理，就是两点间光所取路径用时最短.上面有人解释过费马原理了.
而摆线正是符合光的折射定律的，你可以自己证一下。即证质点运动到摆线上某点的速度（用能量守恒即可表示）比上该点切线的倾斜角(即该点折射角的余角）的余弦值是个常数。
对了 ,补充下,这是速降线问题. 我刚发现这个问题有人解答过了.
在http://zhidao.baidu.com/question/69900666.html
