Question

已知首项和递推公式求通项公式

问大家一个题，请大家详细解答（最起码有所以然）
已知a1=7,a(n+1)=3an -1 求{an}？
这个题，今天老师讲来，没听懂....老师说把递推公式两边都加X 然后解X...不知道为什么，请大家先解出答案，再帮忙分析一下这种题型 谢谢！！

Answer 1

其实数列题目还是很简单的，只要懂得如何思考，思考的方向是什么就ok了

首先要明白一点这里所谓的求｛an｝就是由递推公式求通向公式。但是我们已经知道的通项公式只有等比和等差数列的！

所以这里主要是要想办法，把这个递推公式转化为等比数列或等差数列关系（一般简单的题目都是把数列转化为等差和等比两类基本数列来做）

那么如何转化为等差数列或是等比数列哪？那就先要研究一下等差数列的特征
等差数列的一般递推形式为：a(n+1)=an+d(d为公差）。
等比数列的一般递推形式为：a(n+1)=q*an(q为公比）。

搞清楚这个以后就要思考这个到底该华为等差还是等比。此处的递推形式与上述两个比较，发现等比数列的递推是可以在an前有系数q的，所以转化为等比！

为了把这个数列转化为等比，就需要用到 辅助数列了 。这个概念是数列中的精华之一。大家都知道，等式两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立，此处就利用这点，现设原等式经过同加或同减后转化为
【a(n+1)+d】=3【an+d】；显然存在这样一个d使之成立！

那么最后的任务就简单了，只要求出这个d就可以了
把这个带d的等式展开变成和原式一样的形式得：
a（n+1)=3an+3d-d 其中3d-d与上式中的-1对应所以
3d-d=-1,解得d=-1/2
那么设bn=an+d这个数列即通过上述得两个等式
b1=a1+d=13/2
b(n+1)=3bn
这样bn的通项就可以写出来了：bn=(13/2)*3^(n-1)
这样an的通项也就可以写出来了：an=bn-d=(13/2)*3^(n-1)+1/2

最后我想说的是如果可以的话，你可以再背几个其他典型数列的通项公式，这样可以拓宽你的解题面，也可以加快你解有些难题的速度！

Answer 2

这种题就是构造一个等比数列
设a(n+1)+x=3（a(n)+x），那么（a(n+1)+x）/（a(n)+x）=3，这样就构造出一个等比数列了，这个数列的首项是(a1+x),公比是3，这道题的x=-1/2，答案自己算一下吧。
只要看到a(n+1)和a(n)是线性关系就可以这么做，貌似这种方法叫迭套化……

Answer 3

a(n+1)+X=3（an +X）
a(n+1)=3an+2X
=3an-1
所以X=-1/2
即 a(n+1)-1/2=3（an-1/2） （n〉=1）
即 数列{ an-1/2} 是以 （7-1/2） 为首项，以3为比的等比数列
所以 新数列的第n项 即 an-1/2=（7-1/2）*3的n-1次方
所以 an=（7-1/2）*3的n-1次方+1/2

不仅是这种 加数字的，以后还会有加与 n 有关的代数式，方法都是一样的，思想就是通过递推，搞出一个新的等比数列

Answer 4

a(n+2)=3a(n+1) -1
两式想减得a(n+2)-a(n+1)=3a(n+1)-3an
继续化简得a(n+2)-a(n+1)/a(n+1)-an=3
也就是说a(n+1)-an是一个等比数列
又因为a2=3a1-1=21-1=20，所以a2-a1=13
a2-a1=13也是数列a(n+1)-an的第一项
而a(n+1)-an是一个等比数列，所以a(n+1)-an=13*3^（n-1）
又因为a(n+1)=3an -1，所以3an -1-an=13*3^（n-1）
所以an=13*3^（n-1）+1/2
不知对不对
这种题目的思路就是多加一项构造一个新的数列
貌似更你们老师的做法不太一样，不过我上学的时候这种题都是用我的这种方法做的，希望供你参考一下，你们老师的那种思路我暂时没明白，不好意思

Answer 5

这种a(n+1)和an的系数不一样，又和一个常数项出现在一起让求通项的时候，一般通过构造新数列的方法求(那个相差的系数一般就是新数列的公比)
令a(n+1)+x=3[an+x]和a(n+1)=3an -1一样
得x=-1/2
令bn=an-1/2,这有b(n+1)=3bn,且b1=a1-1/2=13/2
求出bn通项为bn=（13/2）*3^n-1

an通项就为1/2+(13/2）*3^n-1