Question

高一 数学 一元二次不等式 请详细解答,谢谢! (2 13:16:52)

已知二次函数f(x)的二次项系数a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式：
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

Answer 1

1:设f(x)=ax^2+bx+c,则f(x)>-2x,即为ax^2+(b+2)x+c>0的解为(1,3),可知，
a<0（1).且
c/a=3 (2),
-(b+2)/a=4 (3),
f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0 ,其中△=b^2-4a(c+6a)=0,联立(1)(2)(3)解得
a=-1/5, b=6/5, c=-3/5
则 f(x)=-(1/5)x^2+(6/5)x-3/5
2:则（4ac-b^2)/(4a)>0,而由上面的（1）（2）（3）式 联立得
-2-√3<a<-2+√3

Answer 2

双根式：f（x）+2x=a(x-1)(x-3)=a(x^2-4x+3)
(1)f(x)=ax^2-（4a+2）x+3a可知a为负数
g(x)=f(x)+6a=ax^2-（4a+2）x+9a
因为△=0,所以(4a+2)^2-4*a*9a=0
化简得5a^2-4a-1=0
得(5a+1)(a-1)=0
即a=-1/5,1(舍去)
b=6/5, c=-3/5
(2)f(x)=ax^2-（4a+2）x+3a
最大值（4ac-b^2)/4a=(4*a*3a-(4a+2)^2)/4a=-(a+4+1/a)>0
知a为负数，a^2+4a+1<0
因为-b±√(b^2-4ac)/2a=(-4±√12)/2=-2±√3
所以-2-√3<a<-2+√3
(我可能算错了哦，式子应该是没问题的)