Question

已知三角形ABC为等边三角形延长BC到D延长BA到E并且使AE=BD连接CE、DE求证EC=ED

Answer 1

证明：（方法一）延长CD到F，使DF=BC，连结EF

∵AE=BD

∴AE=CF

∵DABC为正三角形

∴BE=BF 角B=60°

∴DEBF为等边三角形

∴角F=60° EF=EB

在DEBC和DEFD中
EB=EF（已证）
角B=角F（已证）
BC=DF（已作）

∴三角形EBC≌三角形EFD （SAS）

∴EC=ED （全等三角形对应边相等）

（方法二）过D作DF‖AC交AE于F

∴角1=角2 （两直线平行，同位角相等）

∴角3=角4=60°

∵三角形ABC为等边三角形

∴角B=60°

∴三角形FBD为等边三角形

∴FD=BD

∵BD=AE

∴AE=FD

∴BF=BD=AE

∴BF=AE

∴BF－AF=AE－AF （等量减等量差相等）

∴AB=EF ∴EF=AC

在三角形EAC和三角形DFE中
AE=FD(已证)
角1=角2（已证）
AC=EF（已证）

∴三角形EAC≌三角形DFE

∴EC=ED （全等三角形对应边相等）

Answer 2

过点A作AF//BD,AF=BD,连接DF、EF

ABDF为平行四边形，DF=AB
ABC为等边三角形，AB=AC
所以，DF=AC
又，易证三角形EAF为等边三角形
EA=EF
角EAC=120度
角EFD=角EFA+角AFD=60+60=120度
所以，角EAC=角EFD

所以，三角形EAC≌三角形EFD
所以，EC=ED