Question

已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c，求m的最大值和最小值

Answer 1

3a+2b+c=5,(1)
2a+b-3c=1,(2)
(1)-(2)*2: -a+7c=3, a=7c-3
b=1-2a+3c=1-2(7c-3)+3c=-11c+7

因a≥0,b≥0,c≥0
7c-3≥0, c≥3/7
-11c+7≥0, c≤7/11

3/7≤c≤7/11
M=3a+b-7c=3(7c-3)+(-11c+7)-7c=3c-2
当c=3/7时，M有最小值： x=3*3/7-2=-5/7
当c=7/11时，M有最大值：y=3*7/11-2=-1/11

xy=-5/7 * (-1/11)=5/77

或
3a+2b+c=5
2a+b-3c=1
方法一：
解不定方程组得
a=4-7t
b=-4+11t
c=1-t
∵a≥0,b≥0,c≥0
∴4-7t≥0,-4+11t≥0,1-t≥0
解得4/11≤t≤4/7
m=3a+b-7c=3(4-7t)+(-4+11t)-7(1-t)=-3t+1
把4/11≤t≤4/7代入得-5/7≤m≤-1/11
所以m的最大值为-1/11，最小值为-5/7
方法二：
把c当作已知数，解得
a=7c-3
b=-11c+7
∵a≥0,b≥0,c≥0
∴7c-3≥0,-11c+7≥0,c≥0
解得3/7≤c≤7/11
m=3a+b-7c=3(7c-3)+(-11c+7)-7c=3c-2
把3/7≤c≤7/11代入得-5/7≤m≤-1/11
所以m的最大值为-1/11，最小值为-5/7

Answer 2

由前两式，将c当作已知数，解关于a,b的方程组：
得：a=7c-3，b=7-11c

所以，m=3a+b-7c
=（21c-9）+（7-11c）-7c
=3c-2

由a≥0，b≥0，c≥0，
7c-3≥0，
7-11c≥0，
c≥0
所以，3/7≤c≤7/11

代入，-5/7≤m≤-1/11
最大值-1/11
最小值-5/7

Answer 3

3a+2b+c=5, 2a+b-3c=1 ===> a=7c-3, b=7=11c ....(1)
a >= 0,b >= 0 ==> 由(1)得: 3/7 <= c <= 7/11 ...(2)
M=3a+b-7c = 3c-2
代入(2), 得: -5/7 <= M <= -1/11
即: 最大值为 -1/11 ，最小值为 -5/7 。

Answer 4

先找出关于m=3a+b-7c的一元表达式
解方程组
3a+2b+c=5...（1）
2a+b-3c=1...（2）
得
a-7c=-3...(3)
b+11c=7...(4)
由（1）-（4）得：
3a+b-10c=-2，
即3a+b-7c=3c-2
所以：m=3a+b-7c=3c-2...(5)
第二步：求出c的取值范围
因a,b,c均为非负数，
故
由（3）得：a=7c-3≥0
c≥3/7
由（4）得：b=7-11c≥0
c≤7/11
所以3/7≤c≤7/11≤7/11
第三步：讨论
①当c=7/11时，代入（5）m值最大，为-1/11
②当c=3/7时，代入（5）m值最小，为-5/7

Answer 5

3a+2b+c=5,(1)
2a+b-3c=1,(2)
(1)-(2)*2:
-a+7c=3,
a=7c-3
b=1-2a+3c=1-2(7c-3)+3c=-11c+7
因a≥0,b≥0,c≥0
7c-3≥0,
c≥3/7
-11c+7≥0,
c≤7/11
3/7≤c≤7/11
M=3a+b-7c=3(7c-3)+(-11c+7)-7c=3c-2
当c=3/7时，M有最小值:
x=3*3/7-2=-5/7
当c=7/11时，M有最大值:y=3*7/11-2=-1/11
xy=-5/7
*
(-1/11)=5/77