Question

点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F。

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF不矩形，请猜想并说明理由。
（2）在①中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵PEMF为矩形，
∴∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP ，
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

Answer 2

(1)AD\AB=2\1
(2)当点P位于BC中点时，矩形PEMF变为正方形。

Answer 3

1,答:长:宽=2:1时.(即BC=2AB）

证明:因为ABCD是矩形,所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

又因为AD=2AB,且M为AD中点,所以AB=AM=MD

所以△BAM和△MDC是等腰直角三角形.

所以∠AMB=∠DMC=45°

所以∠BMC=90°

因为四边形PEMF中,∠PEM=∠EMF∠MFP=90°

所以四边形PEMF是矩形.

2,答:当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.

证明:由1问知,四边形PEMF是矩形

因为AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,所以∠ABM=∠MCD=45°

所以MC=MB,

在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP

∠FBP=∠CEP

BP=CP

所以△BFP和△CEP全等

所以FP=PE

因为矩形FPEM中邻边FP,PE相等

所以矩形FPEM是正方形.