全等三角形难题
在直角三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CE垂直于AD,BF平行于AC.求证:AB垂直且平分DF...
在直角三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CE垂直于AD,BF平行于AC.求证:AB垂直且平分DF
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简单啊
∵AC‖BF,所以∠CBF=90°
∴△ACD≌△CBF
直角;∠DAC=∠FCD(同角的余角相等);AC=CB
∴CD=BF
∴DB=BF
∴△BDF为等腰直角三角形
∵∠DBA=45°
∴AB平分∠CBF
∵三线合一
∴AB垂直平分DF
∵AC‖BF,所以∠CBF=90°
∴△ACD≌△CBF
直角;∠DAC=∠FCD(同角的余角相等);AC=CB
∴CD=BF
∴DB=BF
∴△BDF为等腰直角三角形
∵∠DBA=45°
∴AB平分∠CBF
∵三线合一
∴AB垂直平分DF
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1.
AD=AB,
AC=AE,
角DAC
=
60度+角BAC
=
角BAE.
所以,三角形DAC和三角形BAE全等。所以,角ADF
=
角ABF.
于是A,F,B,D四点共圆,于是角DFA=角DBA=60度。同理,角EFA=60度,所以FA是角DFE的平分线。
(希望你学了四点共圆,否则这个问题就要绕弯了)
扩展:F点又称作三角形ABC的Fermat
Point
(费马点),即角AFB=BFC=CFA=120度。这个点也是使FA+FB+FC最小的点。
2.
在AC上取D点使得AD=AB.
连结PD.
因为AP=AP,
AB=AD,
角PAB=角PAD.
所以三角形PAB和PAD全等。所以PB=PD.
在三角形PDC中,有PD+DC>PC,
即PC-PD<DC=AC-AD=AC-AB,
而PC-PD=PC-PB,所以PC-PB<AC-AB
(题目好像符号写反了)
3.
这个题非常不严密。现有角ECA
=
180
-
角ACD
=
角ACB.
又有AE=AB,
AC=AC.
而现在的情况是SSA,
这是不能确定三角形AEC和ABC全等的。实际上,SSA时仅有两种情况:角E
=
角B,
或者角E+角B=180度,而从图看来,角B和E都是锐角,所以可以假定角E=角B.
而实际上,这个图也可以重画,使角B+角E=180度。
4.
延长PE到K使得EK=PE.连结KC.
延长BF交KC于点X.
因为EP=EK,
∠PEA
=
∠EKC,
AE=EC,
所以△AEP和△CEK全等。所以∠EAP=∠ECK,
所以AP和KC平行。所以BX垂直于CK.
现有BX=BX,
∠KBX
=
∠CBX,
∠KXB
=
90°
=
∠CXB,
所以△BXC
和△BXK全等.
所以BK
=
BC.
又容易证明△BPM和△BQM全等,所以BP=BQ.
所以BK-BP=BC-BQ,即PK=QC.
所以PE=1/2*PK
=
1/2
*
QC.
证毕。
5.
延长BA和CD,交于点K.
容易证明△BDK和△BDC全等。所以CK=2CD.
又有AC=AB,
∠KAC=90°=∠EAB,
∠ACK=90°-∠DEC=90°-∠AEB=∠ABE.
所以△AEB全等于△AKC.
即KC=BE,
CD=1/2
*
KC
=
1/2
*
BE.
AD=AB,
AC=AE,
角DAC
=
60度+角BAC
=
角BAE.
所以,三角形DAC和三角形BAE全等。所以,角ADF
=
角ABF.
于是A,F,B,D四点共圆,于是角DFA=角DBA=60度。同理,角EFA=60度,所以FA是角DFE的平分线。
(希望你学了四点共圆,否则这个问题就要绕弯了)
扩展:F点又称作三角形ABC的Fermat
Point
(费马点),即角AFB=BFC=CFA=120度。这个点也是使FA+FB+FC最小的点。
2.
在AC上取D点使得AD=AB.
连结PD.
因为AP=AP,
AB=AD,
角PAB=角PAD.
所以三角形PAB和PAD全等。所以PB=PD.
在三角形PDC中,有PD+DC>PC,
即PC-PD<DC=AC-AD=AC-AB,
而PC-PD=PC-PB,所以PC-PB<AC-AB
(题目好像符号写反了)
3.
这个题非常不严密。现有角ECA
=
180
-
角ACD
=
角ACB.
又有AE=AB,
AC=AC.
而现在的情况是SSA,
这是不能确定三角形AEC和ABC全等的。实际上,SSA时仅有两种情况:角E
=
角B,
或者角E+角B=180度,而从图看来,角B和E都是锐角,所以可以假定角E=角B.
而实际上,这个图也可以重画,使角B+角E=180度。
4.
延长PE到K使得EK=PE.连结KC.
延长BF交KC于点X.
因为EP=EK,
∠PEA
=
∠EKC,
AE=EC,
所以△AEP和△CEK全等。所以∠EAP=∠ECK,
所以AP和KC平行。所以BX垂直于CK.
现有BX=BX,
∠KBX
=
∠CBX,
∠KXB
=
90°
=
∠CXB,
所以△BXC
和△BXK全等.
所以BK
=
BC.
又容易证明△BPM和△BQM全等,所以BP=BQ.
所以BK-BP=BC-BQ,即PK=QC.
所以PE=1/2*PK
=
1/2
*
QC.
证毕。
5.
延长BA和CD,交于点K.
容易证明△BDK和△BDC全等。所以CK=2CD.
又有AC=AB,
∠KAC=90°=∠EAB,
∠ACK=90°-∠DEC=90°-∠AEB=∠ABE.
所以△AEB全等于△AKC.
即KC=BE,
CD=1/2
*
KC
=
1/2
*
BE.
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在AB上取一点F,使AF=AD连接FE.∵AE是角DAB的平分线
。∴在三角形ADE与AFE中《AD=AF,角DAE=角FAE.AE=AE》∴三角形ADE与AFE全等。
∴角DEA=FEA。∵AD∥BC,∴角A+角B=180.∵组成角A和角B的四个角都相等,∴角FAE=角FBE=45.∵在三角形AEB中两个角等45.剩下一个角=90.∴角CEB=角FEB.通过ASA定理可得三角形CEB=三角形FEB.∴FB=BC.因为AB=AF+FB.
因为AF=AD
,FB=BC.所以AF=AD=BC
。∴在三角形ADE与AFE中《AD=AF,角DAE=角FAE.AE=AE》∴三角形ADE与AFE全等。
∴角DEA=FEA。∵AD∥BC,∴角A+角B=180.∵组成角A和角B的四个角都相等,∴角FAE=角FBE=45.∵在三角形AEB中两个角等45.剩下一个角=90.∴角CEB=角FEB.通过ASA定理可得三角形CEB=三角形FEB.∴FB=BC.因为AB=AF+FB.
因为AF=AD
,FB=BC.所以AF=AD=BC
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AC‖BF,所以∠CBF=∠ACB=90°
∠BCF+∠ACF=∠ACF+∠CAD
所以∠BCF=∠CAD
BC=AC
所以CBF与ACD三角形全等
CD=BF=BD
设AB与BF交与M
∠FBM=∠CAB=∠CBA=45
BM=BM
得三角形FMB与DMB全等
所以∠DMB=∠FMB=90
DM=FM
即
AB垂直且平分DF
∠BCF+∠ACF=∠ACF+∠CAD
所以∠BCF=∠CAD
BC=AC
所以CBF与ACD三角形全等
CD=BF=BD
设AB与BF交与M
∠FBM=∠CAB=∠CBA=45
BM=BM
得三角形FMB与DMB全等
所以∠DMB=∠FMB=90
DM=FM
即
AB垂直且平分DF
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