Question

数学题目（分类：综合除法和余数定理）

一个整系数三次多项式f（x），有三个不同的整数m，n，k，使
f（m）=f（n）=f（k）=1。

又设p为不同于m，n，k的任意整数，试证明：f（p）≠1。

Answer 1

先进行个初步讨论：
f（x） 为 一个整系数三次多项式，则 f（x）= 1 为一个关于 x 的 一元三次方程。这里我们根据常识就知道 一元三次方程最多有几个解呢，三个，姑且认为就是条件中所说的 m ，n ，k 。这样，我们就得到了解题的思路，用导数来解，证明这个一元三次方程不可能存在第四个解，即 不存在 f（p）= 1 。

证明：设 f(x)= a x^3 + b x^2 + c x + d (a ≠ 0）。
令 F(x)=f(x)-1
对 F(x)求导， 得 F'(x) =3a x^2 + 2b x + c (a ≠ 0）,
这F'(x)是个一元二次多项式， 令F'(x)=0，有且最多有2个解（其实在题设条件下已经有3个整数使f（x）= 1 成立了，这里就是F'(x)有2个解。），设为 k1，k2（k1<k2)，所以，有如下结论：
在区间（-∞，k1)， (k2,+∞）上，① a>0时,F'(x)>0,F（x）单调递增②a<0时,F'(x)<0,F（x）单调递减
在区间（k1，k2）上，，① a>0时,F'(x)<0,F（x）单调递减②a<0时,F'(x)>0,F（x）单调递增
有上F（x) 的单调性可知，F（x）为 增减增 或 减增减 型 函数，所以，F(x)最多有3次跟x轴交汇。即F(x)=0最多有3个解。而F(x)=f(x)-1，也就是至多有3个不同的整数使得 f（x） = 1 成立，不会存在不同于 m n k 的 任意整数 p，使得 f(p)=1，即证 f（p）≠1。

Answer 2

楼上同学说得太麻烦了
我们知道一元n次方程最多有n个根（包括重根）
那么根据题意f(x）为一个3次多项式，而且），有三个不同的整数m，n，k，使
f（m）=f（n）=f（k）=1。
那么方程F(x)=f(x)-1=0的根为m，n，k
所以不存在p为不同于m，n，k的任意整数，使得f（p）=1。