Question

高中函数定义域

问大家三个问题
（有关高中函数的定义域,问题够长,希望大家耐心,其中二次方均用“^2”代替）
I. 已知f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域；
例：已知f(x)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为_____
解：∵f(x)的定义域为[2,4]，∴2≤2x≤4即1≤x≤2，∴f(2x)的定义域为[1,2]
II.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，求f(x)的定义域;
例：已知f(x^2+1)的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域；
解：∵f(x^2+1)的定义域为[1,2]，∴1≤x≤2 即 1≤x^2≤4 即 2≤x^2+1≤5
∴f(x)的定义域为[2,5]
III.已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f[h(x)]的定义域;
思路(注意)：f[g(x)]→f(x)→f[h(x)]
例：已知f(2x)的定义域为[2,4],求f[x^2+1]的定义域；
解：∵f(2x)的定义域为[2,4]，∴2≤x≤4 即4≤2x≤8
即f(x)的定义域为[4,8]。∴4≤x^2+1≤8 即3≤x^2≤7
即 －根号7≤x≤－根号3 或 根号3≤x≤根号7

以上三个问题都是已知某个函数的定义域，求另一个函数定义域的问题。这些例题和解答是我原封不动地从上课笔记上抄下的，从解答看，题中前后两个函数括号的取值范围似乎一样?但我就是没搞懂这些题的解题思路是怎样（即方法是如何出来的），望高手全程指教！
vincent_we：我想知道为什么题中后面的那个函数是前面的函数的函数？

Answer 1

汗死。。开始学的时候我也不理解和老师纠结好久……，其实过程全对，这个是肯定的。。。

例：已知f(x)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为_____

第一句话可以得到2≤x≤4.但是第一句话里面的内层函数是X
第二句话里面的内层函数是2X，这点要区别。也就是说两个X代表的不是一样的。
这样解释
如果题目是 已知f(A)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为____
这样写的话能理解不？
相当于A的值域就等于f(2x)中2x的值域。
所以此时2≤2x≤4.自然就解出f(2x)的定义域为[1,2]了。

f(x)和f(2x)的内层函数是不同的函数。所以f(x)和f(2x)虽然外层函数一样，但是其实是完全不同的两个函数，自然内层的变量不能相同。

后面的你依样画葫芦，慢慢理解嘛。

例：已知f(x^2+1)的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域；

你设f(x^2+1)的内层x^2+1=S，则S的值域为[2,5]
设f(x)的内层x=C ，则f(S)和f(C)的定义域应该相同.
于是S=C,
所以C的范围就是S的范围.也就是f(x)中的2≤x≤5
所以f(x)的定义域为[2,5].

继续依样画葫芦

已知f(2x)的定义域为[2,4],求f[x^2+1]的定义域；
设f(2x)的内层2x=K,则4≤K≤8
设f[x^2+1]的内层 x^2+1=L.
f(K)和f(L)的定义域应该相同.也就是K和L的值域应该相同.
所以4≤L≤8,即4≤x^2+1≤8
也就是说f[x^2+1]中的x的范围是根号3到根号7
那么f[x^2+1]的定义域也就是根号三到根号七了.

反正你要理解它所说的两个内层函数里面的x是八竿子打不着的(虽然他们外面的
马甲是一样的都是f(A)f(C)).但是他们的内层函数的值域却是一样的.(即A等于
C).(不过A和C是完全不同的函数.只不过值域相等.知道其中一个的值域.带到另
外一个里面,就可用求另外一个的X的范围了)

Answer 2

若已知形如f[x]的定义域，求f[g(x)]的定义域时，要搞清f(x)的定义域就是g(x)的值域，进而求出x的取值范围即可；若已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域，由于f[g(x)]的定义域，要先求出g(x)的值域，也即是f(x)定义域；若已知f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域，须先求出g(x)的值域，也即h(x)的值域，再求出h(x)中x的取值范围即可。

Answer 3

其实很简单，用你的例子解释：
已知f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域；
例：已知f(x)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为_____
解：∵f(x)的定义域为[2,4]，∴2≤2x≤4即1≤x≤2，∴f(2x)的定义域为[1,2]
从上题来看已知f(x)求f[g(x)]，那你就把所求的f[g(x)]里的g(x)看做已知f(x)里的x就行了，然后按照已知的条件做就好了。。。。

Answer 4

这个要弄明白函数是什么
定义域，值域。。。
题目我看了，但你问得我太明白是什么，我就说说这些题目的关键在什么地方吧

例：已知f(x)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为_____
f(x)的定义域为[2,4] 也就是x的范围为[2,4]
如果改成f(2x)的定义域为[2,4]，这个也是x的范围为[2,4]
定义域定义的是x（自变量）的取值范围，
一定要弄清楚定义域是自变量的取值范围！！！

已知f(x^2+1)的定义域为[1,2]，求f(x)的定义域；
这个中，后面f(x)中的x可以大不必写成x，你可以换成t也没有关系的，后面的x已经不是前面括号的x了，知识方便习惯写法而已

后面的x其实就是x^2+1，也就是它的函数
不知道我说没有说明白，只要明白前后两个x没有本质上的联系，根本就不是一样的。