Question

急急急。！一道几何数学题！

如下图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交角CBE的平分线于N。
（1）求证：MD=NM;
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=NM”还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

Answer 1

.正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上的一点,,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N.
⑴求证:MD=MN.
⑵若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任一点”，其他条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由。
（1）取AD中点F，连结MF，
由MN⊥DM得∠DAM＝900，
易证∠FDM＝∠NMB，
又因∠MNB＝∠NBE－∠NMB＝450－∠NMB，
∠DMF＝∠AFM－∠FDM＝450－∠FDM，
所以∠DMF＝∠MNB，
又因DF＝BM，
所以△DMF≌△MNB，
故MD＝MN。

（2）成立，
在AD上取DF＝MB，
则易知：∠FDM＝900－∠DMA，
又∠NMB＋∠DMA＝900，
∴∠FDM＝∠NMB，
又∠DMF＝450－∠FDM，
∠MNB＝450－∠NMB，
∴∠DMF＝∠MNB，
又DF＝MB，
∴△DMF≌△MNB，
故MD＝MN。

Answer 2

取AD重点K，连接KM，证DMK与MBN全等就可以了
2.不成立，M与B重合的时候MN就是无穷大了
要是第二题有人真出全等，我白他为师！！！

Answer 3

取AD中点F，连接FM
则AF=AM
∴∠DFM=135°
∵BN是外角平分线
∴∠MBN=135°
∴∠DFM=∠MBN
∵∠ADM+∠AMD=∠BMN+∠AMD
∴∠ADM=∠BMN
∵DF=BM
∴△MFD≌△MBN
∴MD=MN

(2)
成立
在AD上截取DE=BM
证明△MED与△MBN全等（ASA）
方法同上

Answer 4

1）因为是等腰直角三角形，所以D点是这个三角形外接圆的中心，及D点到A，B，C的距离相等

Answer 5

(1)证：∵AD//BC
∴∠ADB=
∠DBC（两直线平行，同位角相等）
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=
∠DBC
∴∠ABD=∠ADB（等量代换）
∴AB=AD（等角对等边）
（2）证：∵等腰梯形ABCD
∴
∠C=∠ABC，AB=DC
∵AB=AD（已证），且AD=2
∴AB=AD=DC=2
∵∠C=60°
∴∠ABC=60°
∴∠DBC=½∠ABC-=30°
∴∠BDC=90°
∴BC=2DC，（30°角所对的直角边是斜边的一半）
∴DC=4
周长=AB+CB+CD+AD=2+2+2+4=10

Answer 6

1、AD平行于BC，AB=CD，这个应该好理解的，我不多说了，角ADB=角DBC，
因为DB是角平分线，所以角DBC=角ABD=角ADB
所以AB=AD。
2、由一的结论可以知道：AB=AD=CD=2
等腰梯形底角相等，所以角DBC=1/2角ABC=1/2角C=30度
所以角BDC=180度-60度-30度=90度
所以BC=2DC=4
所以梯形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC=2+2+2+4=10