Question

高一 数学 急的 请详细解答,谢谢! (4 13:48:40)

1.若x,y属于（0，正无穷），且x2+y2/2=1,则x√(1+y2)的最大值为：？
 
2.已知a≥0 b≥0，a+b=1，则√（a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围：？

Answer 1

若x,y属于（0，正无穷），且x2+y2/2=1,则x√(1+y2)的最大值为：？

用均值不等式ab<=(a^2+b^2)/2
所以x√(1+y^2)=(√2)*x√(1/2+y^2/2)

由均值不等式(√2)*x√(1/2+y^2/2)<=(√2)*[(x^2+1/2+y^2/2)/2]
注意到x^2+y^2/2=1,所以(√2)*[(x^2+1/2+y^2/2)/2]=(3√2)/4

所以x√(1+y^2)<=(3√2)/4

最大值是(3√2)/4

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x²+（y²）/2=1
则y²=2-2x²
x√（1+y²），x＞0
=√[x²（3-2x²）]
=√[-（2x^4-3x²）]
=√[-2（x²-3/4）²+9/8]
当x²=3/4时，取到最大值为（3√2）/4

2.已知a≥0 b≥0，a+b=1，则√（a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围：？

本题实际上考察整体换元，与基本不等式的应用
解答如下：
a≥0,b≥0,a+b=1
所以 (a+1/2)+(b+1/2)=2
由于基本不等式
(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
所以 （√(a+1/2)+√(b+1/2))^2<=2『(a+1/2)+(b+1/2)』=4
即 √2< √(a+1/2)+√(b+1/2)<=2

Answer 2

有很多种方法可以解决这两个题目
第一种是保护等是的方法，但是这对于第一题需要用到柯西不等式，你可能没学，所以我们放弃
现在教你一种还原法
我们令x=cosa，y=（√2/2）sina
那么我们带入一式，很简单的可以把这个个化简，再然后极大值就能求出
第二题吗，我们同样可以换元，其实不换元的话，还是可以用民科夫斯基不等式解出，这里我们（√（a+1/2)+√(b+1/2)）平方≤（1+1）*（a+1/2+b+1/2）这样就能求出极值
换元我们可以令a=（cosa）的平方，b为（sina）的平方
在对其进行化简即可
希望我的回答对你有帮助

Answer 3

1.因为x,y属于（0，正无穷），则x√(1+y2)>0；

先求【x√(1+y2)】^2=x^2/(1+y^2)的最大值；

由x2+y2/2=1推出x^2/(1+y^2)=3/(2+2y^2）-1/2

令y=√2cost，0=<cost<=1;当cost=0时，x^2/(1+y^2)的最大值为1，
所以x√(1+y2)的最大值为1；

2.令√（a+1/2)+√(b+1/2)=x，

两边平方有a+b+1/2+1/2+2√(ab+1/4+a/2+b/2)=x^2

而a+b=1，x^2=2+2√(ab+3/4)<=2+2√((a+b）^2/4+3/4)=4

故√（a+1/2)+√(b+1/2)<=2,最大值为2