Question

在平面直角坐标系XOY中，已知圆C1：(x+3)^2+(y-1)^2=4,和圆C2:(x-4)^2+(y-5)^2=4

设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1,L2；它们分别与圆C1和C2相交，且直线L1被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

Answer 1

设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

y-n=k(x-m)，y-n=-1/k(x-m)

即kx-y+n-km=0，-x/k-y+n+m/k=0

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等

由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等

∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)

化简，得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5

关于x的方程有无穷多解，有：2-m-n=0，m-n-3=0或m-n+8=0，m+n-5=0

解得：点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2)

Answer 2

因为圆C1与圆C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆 C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，列出等式即可，但是字母运算较复杂，考察考生的耐心与细心。

Answer 3

这些题目，咋一看，觉得很复杂，其实就是想考查同学们的耐心与细心，耐心读题，细心分析，认真画图，分析题目的实际意图。话说数少形时难直观，就是这个意思啊。