Question

以知锐角三角形ABC。求证cosA+cosB+cosC>1

用初中知识来做

Answer 1

只用初中的知识做这道题太难了吧，还不如直接证明三角和差公式和倍角公式（其实证明过程初中生应该能看懂的，只不过初中不要求知道这些结论而已）^_^

原来的证法稍微修改了一下

三角和差公式:
( cosA + cosB )
= 2 * cos[(A+B)/2] * cos[(A-B)/2]
( cosA - cosB )
= -2 * sin[(A+B)/2] * sin[(A-B)/2]

倍角公式:
cosC = cos(pi-A-B) = -cos(A+B)
= -2 * {cos[(A+B)/2]}^2 + 1

cosA + cosB + cosC
= (2 * cos[(A+B)/2] * cos[(A-B)/2]) + (-2 * {cos[(A+B)/2]}^2 + 1)
= 2 * cos[(A+B)/2] * ( cos[(A-B)/2] - cos[(A+B)/2] ) + 1
= 2 * sin(C/2) * [ 2 * sin(A/2) * sin(B/2) ] + 1
= 4 * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2) + 1

因为是锐角三角形，所以0 < A、B、C < pi/2
因此sin(A/2) 、 sin(B/2) 、 sin(C/2) 均大于0

即 cosA + cosB + cosC > 1

注：pi是圆周率

Answer 2

cosA+cosB+cosC
>sinBcosA+sinAcosB+cosC(乘以两个小于1的系数所以变小了)
=sin(A+B)+cosC（积化和差）
=sinC+cosC
=sqrt(sinC^2+cosC^2+2sinCcosC)
=sqrt(1+2sinCcosC)
>=1
其中sqrt表示开方，^2表示平方

Answer 3

用初中知识：不妨设：a≥b≥c,AD垂直BC于D，BD=X,则CD=a-x;
cosB+cosC=x/c+a-x/b≥(x+a-x)/c=a/c≥1,
又cosA＞0，∴cosA+cosB+cosC＞1