Question

几道概率论与数理统计的题（需要详细解答过程）

1.从数字0，1，……，n中无放回取出两个数，求这两个数差的绝对值的数学期望。

2.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为0.5的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。

3.流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0>p>1)，各产品合格与否相互独立，当出现k个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)。

Answer 1

回答：

(1.) 把0，1，2，...，n标在数轴上，连接所有两点之间的距离，即0－1，1－2，2－3，...，0－2，1－3，2－4，...，0－3，1－4，2－5，...等等，共有n(n+1)/2条线段。这些线段的平均长度就是所求

{∑(i=1, n)[i(n-i+1)]}/{n(n+1)/2}
= n/3 + 2/3.

(2.) 根据对称性，-Y的分布和Y的分布相同，故X-Y的分布和X+Y的分布相同，而X+Y～N(0+0, 0.5+0.5) = N(0, 1)。取绝对值将原分布变成“对折正态分布”(Folded Normal Distribution)的一种特殊情况:“半正态分布”(Half-Normal Distribution)。其均值和方差分别是σ√(2/π) 和σ²(1-2/π)。

本题中，σ＝1。故均值E和方差D分别是

E(|X-Y|) = √(2/π);
D(|X-Y|) = (1-2/π).

(3.) 这个问题属于“负二项分布”(Negative Binomial Distribution)。

设X=n+k，即n个“合格品”和k个“不合格品”。那么，n服从“负二项分布”，即

P(n=i) = C(i+k-1, k-1) x p^k x (1-p)^i.

这个分布的均值和方差分别是

E(n) = k(1-p)/p;
D(n) = k(1-p)/p^2.

所以， X的均值和方差分别是

E(X) = E(n)+k = k(1-p)/p + k;
D(X) = D(n) = k(1-p)/p^2.

〔注意，D(X)和D(n)相等。〕