Question

若x,y,z是正实数，且x+y+z=xyz,证明：(y+z/x)+(z+x/y)+(x+y/z)≥2倍的(1/x)+(1/y)+(1/z)的平方

高二数学不等式，有没有高手来解决一下？

Answer 1

左-右，以xyz为分母进行通分，化简合并后，得

分子：z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2
分母：xyz

除成3个式子: (x-y)^2/xy + (y-z)^2/yz + (z-x)^2/xz

利用 x^2 + y^2 >= 2xy 及初始条件即可证明上式每个式子都 >=0 。

即原式 左>= 右。