Question

不等式证明与数列

1,若0<t<1,m为正整数且m大于等于2，求证t{m-t^（m-1)}<m-1
2,对于任意实数x1,按以下构成数列｛Xn},X(n+1)=Xn(Xn+1/n),n>=1
证明，存在且只存在一个值X1，使得0<Xn<X(n+1)<1对于一切n成立

Answer 1

1.解答如下：
∵m≥2 可得 m-1≥1
又∵0<t<1
∴t^（m-1)≤t
即-t^（m-1)≥-t
∵m≥2且为正整数
∴t{m-t^（m-1)}≥（2-t)t=-（t-1)²+1
∵0<t<1
∴0<-（t-1)²+1<1
∴0<t{m-t^（m-1)}<1
∵m-1≥1
∴t{m-t^（m-1)}<m-1证明成立

Answer 2

1、化简即证mt+1<m+t^m .由贝努利不等式；1+mt<(1+t)^m ,得1+(t-1)m<(1+t-1)^m 化简后即可。此题还可用数学归纳法和导数的方法解答。
第二题版述得不好，不懂什么意思。

Answer 3

能不能发张图片让大家看看，这些不规范的数学符号让人很为难