Question

高等数学梯度

已知u=x*y^2+z^3,求div(grad u)
拜托各位大虾们看看
步骤，谢谢 ，1l答错了。。 步骤要详细点，谢谢，我不懂的是div可以对向量使用么，因为grad u 是梯度，是个向量 ，因为标准答案写的是2x+6z，所以我给2l分数了，不过谢谢大家

Answer 1

函数u在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数u在该点方向导数取得最大值时的方向，它的模等于方向导数的最大值。下面来说明梯度和切向量垂直，设曲线x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数，u(x,y,z)=c表示等值面），由于该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则，方程两边同时对t求导数，得
(ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0，所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)垂直。而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度，所以梯度和切向量垂直

Answer 2

解:grad u=(δu/x)*i+(δu/y)*j+(δu/z)*k
=y^2*i+2xy*j+3z^2*k
div(grad u)=δP/δx + δQ/δy + δR/δz
=0+2x+6z
=2x+6Z
梯度是相对于数量场而言的，散度是相对于向量场而言的．

Answer 3

梯度算符的操作数是标量场（即空间中一点对应一个数）。某一点梯度的方向，是在这一点标量场增加最快的方向；梯度的大小是在该点标量场增加的速率，或者说沿梯度方向位置移动单位长度，标量场值的变化。比如地球表面附近的重力势能场，梯度方向就是背离地心，对于1kg的物体来说，其大小就是dE
/
dh
=
mg
=
9.8J/m
=
9.8N在比如静电势场V(r)，梯度方向就是电场矢量E(r)的反方向，大小就是-E(r).

Answer 4

梯度就是一个标题场变化最大的方向，而且它不随坐标系而改变。

Answer 5

div(grad u)
=(y^2i,2xyj,3z^2k)