Question

已知函数f(x)=x的平方-2|x|.（1）判断并证明函数的奇偶性，并说明原因。

（2）判断函数f（x)在（-1，0）上的单调性并加以证明。

Answer 1

（1）
f(-x)=(-x)²-2|-x|=x²-2|x|=f(x)
且函数的定义域关于原点对称
所以该函数是偶函数

(2)
当x属于(-1，0)时，设-1<x1<x2<0
f(x1)-f(x2)
=x1²-2|x1|-(x2²-2|x2|)
=(x1²-x2²)-2(|x1|-|x2|)
=(x1+x2)(x1-x2)-2(-x1+x2)
=(x1+x2+2)(x1-x2)
因为x1+x2+2>0，x1-x2<0
所以f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)
函数在(-1，0)上是单调增函数

Answer 2

(1)首先定义域是R
f(-x)=(-x)²-2|-x|=x²-2|x|=f(x)
所以f（x)是偶函数
(2)当x在（-1，0）上时,f(x)=x²-2|x|=x²+2x=(x+1)²-1
其对称轴为x=-1
所以f（x)在（-1，0）上单调递增