Question

数学 导数应用题 求解

某公司生产一种产品,每年需投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这样的产品,还需增加投入0.25万元.经市场调查知这种产品的年需求量为500件.产品销售数量为t(百件)时,销售所得的收入为(5t-1/2t^2)万元.

(1)该公司这种产品的年生产量为x百件,生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量x的函数f(x).求f(x);

(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大

Answer 1

（1）当x≤5时，利润y＝销售收入－（销售）成本＝（5x-0.5x^2）－（0.5+0.25x）＝-0.5x^2+4.75x-0.5
成本＝固定成本＋可变成本
当x>5时，y＝（5×5-0.5×5^2）－（0.5+0.25×5）－0.25*(x-5)=12-0.25x
（2）y＝-0.5x^2+4.75x-0.5＝－0.5(x^2－2*4.75+4.75^2)+0.5*4.75^2-0.5＝－0.5(x-4.75)^2+10.78125
即当x＝4.75（百件）时，y有最大值10.78125万元
因此年产量为475件时，当年所获得的利润最大，为10.78125万元