Question

高中数学暑假作业 数列问题 请大家帮帮忙

1.设数列｛an｝的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数，且-a1,Sn,an+1(n+1是a的下标啊，我打不出来）成等差数列，求｛an｝的通项公式

2.数列｛an｝中，a1=1,Sn为其前n项的和，当t>0时，有3tSn-(2t+3)Sn-1=3t
(n-1是S的下标啊，还有n∈N*,n>1).求证数列｛an｝是等比数列

3.在等差数列｛an｝中，a1=1,前n项和为Sn满足S2n/Sn=4n+2/n+1（2n是S的下标，真累每次都这么打~）n=1,2,3,...,求数列｛an｝的通项公式

4.如果一个数列｛cn｝的各项既是等差数列｛an｝中的项，又是等比数列｛bn｝中的项，我们就称之为“和谐数列”。现知等差数列｛an｝的公差和数列｛bn｝的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10
分别求出数列｛an｝，｛bn｝的通项公式

Answer 1

1、-a(1),S(n),a(n+1)成等差数列，即2S(n)=a(n+1)-a(1)。所以2S(n-1)=a(n)-a(1),两式相减得2[S(n)-S(n-1)]=a(n+1)-a(n)，化简得2a(n)=a(n+1)-a(n)，即3a(n)=a(n+1)，所以a(n)为等比数列

2、3tS(n)-(2t+3)S(n-1)=3t，因此3tS(n-1)-(2t+3)S(n-2)=3t，两式相减得3t[S(n)-S(n-1)]-(2t+3)[S(n-1)-S(n-2)]=3t，化简得3ta(n)-(2t+3)a(n-1)=0，即a(n)=(2t+3)a(n-1)/3t

3、题目是不是有点问题？应该是S(2n)/S(n)=（4n+2）/（n+1）吧？
取n=1时，S2/S1=3，S1=a1=1，故S2=3，a2=S2-S1=2。因为是等差数列，所以公差为a2-a1=1，所以an=n

4、a4=a1+3d,b4=b1*d^3,a4=b4,所以a1+3d=b1*d^3(式1)
a10=a1+9d,b10=b1*d^9,a10=b10,所以a1+9d=b1*d^9（式2）
再结合a1=b1，即可求得a1与d。
具体解法如下：
a1+3d=a1*d^3(式1)-->a1(d^3-1)=3d
a1+9d=a1*d^9（式2）-->a1(d^9-1)=9d
两式相除得(d^3-1)/(d^9-1)=1/3 [其中可以化简d^9-1=(d^3-1)(d^6+d^3+1)]
化简得d^6+d^3+1=3，故d^3=1或者-2，接下来带回原式就可以了