Question

设有理数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，则1/(b²+c²-a²)+1/(c²+a²-b²)+1/(a&s

设有理数a、b、c都不为0，
且a+b+c=0，
则1/(b²+c²-a²)+1/(c²+a²-b²)+1/(a²+b²-c²)的值是多少？

Answer 1

a+b+c=0

a+b=-c

两边平方得 a^2+b^2+2ab=c^2 a²+b²-c²=-2ab

同理：b²+c²-a²＝-2bc c²+a²-b²=-2ac

1/(b²+c²-a²)+1/(c²+a²-b²)+1/(a²+b²-c²)=-1/2bc-1/2ca-1/2ab=-(a+b+c)/2abc=0

Answer 2

a=-(b+c)
a²=b²+c²+2bc
代入分母中得：(1/-2bc)+(1/2c²+2bc)+(1/2b²+2bc)
通分后分子得0
所以值为0

Answer 3

原式=1/(b2+a2+b2+2ab-a2)+1/(a2+b2+2ab+a2-b2)+1/(a2+b2-a2-b2-2ab)=-1/2bc-1/2ac-1/2ab=-(a+b+c)/2abc=0

Answer 4

解题思路：依据唯一的条件可知，a+b+c=0,因此只有凑出这个等式进行代换，最终得到答案，具体如下。

a=-(a+b),b=-(a+c),c=-（b+c）,

替换到等式中

1/(b²+c²-a²)+1/(c²+a²-b²)+1/(a²+b²-c²)=

1/b²+c²-(b+c)²+ 1/c²+a²-(a+c)² + 1/a²+b²-(a+b)²=

1/b²+c²-(b²+2bc+c²) +1/c²+a²-(c²+2ac+a²) + 1/a²+b²-(a²+2ab+b²)=

1/-2bc + 1/-2ac + 1/-2ab=

-(a+b+c)/2abc