Question

高分求解关于二阶连续偏导数问题的解法,有追加

首先先看一下题目：
1.设z=f(xy,y),f(u,v)具有二阶连续偏导数，求6z/6y,6²z/6y²,6²/6x6y
说明：这里的6代表的是那个与6相反的符号，我不会打就用6代替，详细情况可以参照图片

所有类似这种的题目我都不会做，请高手指点我，如果把握教会了我再追加一百分

再附上几道这样的题目：
2.设z=1/xf(xy)+yβ(x+y),其中f,β具有二阶连续偏导，求6z/6x,6z/6y,6²z/6z6y
3.设z=f(2x+3y,xy),f(u,v)具有二阶连续偏导，求6z/6y,6z/6y,6²z/6x6y

另外再说明一下，所有这种类型的题目的6z/6x,6z/6y我已经都会做了，但是所有有平方的我就不会了比如6²z/6x6y，6²z/6y²，老师说可以用1或2分别代表，但我不懂。所以还请各位帮我重点解决这个问题。另外6这个符号要怎么打？

Answer 1

关于那个古怪的符号怎么打我们就不说了，呵呵，就用6表示嘛，大家知道意思就行了。

其实那个“平方”很简单的，估计您好像时间紧没有看到教材在某一个角落中是说到这个问题了的，举个例子，6z/6x表示函数z对其中的一个自变量x求导，这个时候把y看做常数就行了，想必方法你也很熟悉，那么6²z/6y²就表示的是函数z先对y求一次偏导，得到一个函数6z/6y，然后函数6z/6y再对y求一次偏导，就表示成6²z/6y²，也就是说对y连续求了两次偏导，同理，如果第二次不是对y求偏导，而是对x求偏导，那么就表示成为6²z/6y6x，所以下面的y,x就代表一个顺序，先求y，再求x

所以你会发现，其实那些所谓的“平方”只是一种表示方法，人为规定的，并不是表示什么什么的平方，了解了吧？如果还有点模糊，我们具体来说

二元函数z(x,y)：

6²z/6x6y表示先对x求一次偏导，然后把这个结果再对y求一次偏导
6²z/6y6x表示先对y求一次偏导，然后把这个结果再对x求一次偏导
6²z/6y²或者6²z/6x²就表示对同一个自变量y或者x连续求两次偏导。

ps:关于“设z=f(xy,y),f(u,v)具有二阶连续偏导数”这句话的意思就是说z=f(xy,y)是可以求偏导的：因为“f(u,v)具有二阶连续偏导数”就表示了f这个函数不管两个自变量如何，只是用不同形式的字母表示而已，都是可以去求偏导的，所以这里u换成了xy，v换成了y的这个f(xy,y)函数也是可以求偏导的。这句话就保证了函数不会在某些地方有断点，可以放心大胆的去求偏导了。

ps：关于“老师说可以用1或2分别代表”，老师的所说的1和2应该就是指一阶偏导数和二阶偏导数，阶的意思就是求导的次数，相当于就说要求几次偏导数的意思。

Answer 2

哎，这打不出来呀
就是对f第一项求导乘以xy对y求导，加上对f第二项求导乘以y对y求导，
后面同理

Answer 3

我拿6²z/6x6y 这个做例子吧
先把z=f(2x+3y,xy)对x求偏导得2* f1’（2x+3y,xy）+y*f2’(2x+3y,xy)
再对y求偏导2*3*f11’（2x+3y,xy）+2*x* f12’（2x+3y,xy）+3*y*f21’(2x+3y,xy)+x*y*f22’(2x+3y,xy)
答案就是这个

你们老师说的1 2 就代表你是对括号里 逗号前面的求道就加下标1 后面的求导就加下标2
知道了么~

Answer 4

以“1.设z=f(xy,y),f(u,v)具有二阶连续偏导数，求6z/6y,6²z/6y²,6²/6x6y
”为例

令u=x*y,v=y;
得6z/6y=(6f/6u)*(6u/6y)+(6f/6v)*6v/6y=(6f/6u)*x+6f/6y

6²z/6y²=6(6z/6y)/6y=x*(6(6f/6u)/6u)*(6u/6y)+6²f/6y²=.....

6²/6x6y类似

二次偏导就是在一次的基础上求偏导
注意分析好函数、几个中间变量、几个自变量是否有关系

Answer 5

先记住一个公式
z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则
6z/6x=6z/6u*6u/6x+6z/6v*6v/6x (1)
6z/6y=6z/6u*6u/6y+6z/6v*6v/6y (2)
成立的条件就是f,u,v都可以求导

现在以第1题为例求6z/6y

首先 z=f(u,v),u=xy,v=y
其次 6z/6u=6f/6u,6z/6v=6f/6v, 6u/6y=x,6v/6y=1
最后 带入(2)即可得
6z/6y=6f/6u*x+6f/6v (3)

对(3)重复上述过程就可以求得 6^2z/6x6y和 6^2z/6y^2