Question

如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，

如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，
求证：AE‖BC
（2）如图2，将（1）中等边△ABC改为以BC为底边的等腰三角形所作△EDC改为相似于△ABC，请问：是否仍有AE‖BC？证明你的结论。

Answer 1

1..因为等边△ABC,等边△EDC,所以BC=CA,CD=CE,因为∠ECD=∠ACB=60度,所以∠DCB=∠ECA,所以△ECA≌与△DCB(SAS),所以∠B等于∠EAC=60度,.因为∠EAB+∠B=180度,所以AE‖BC

2...1.)若△EDC∽△ABC或△EDC∽△ACB,所以BC/AC=DC/CE,∠ECD=∠ACB 即∠ECA=∠DCB,所以△ECA∽△DCB(SAS),所以∠EAB+∠B=180度,此时AE‖BC成立
2.)若△EDC∽△ACB,则只有当D与A重合或△ABC为正三角形时,AE‖BC才成立

Answer 2

（1）证：△AEC≌△BDC（SAS）
得：∴∠B=∠EAC=60°
∵△ABC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACB=60°
∴AE‖BC
(2)证：△AEC∽△BDC
∴∠EAC=∠DBC
∵△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠ACB
∴∠EAC=∠ACB
∴AE‖BC