Question

高难度的问题：方程，a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2xe^(c2x^2)=0,问

a,b1,c1,b2,c2满足什么样关系，时方程有5个不同的实根,且最大值唯一

Answer 1

解：令f(x)=ax+b1·xe^(c1·x²)-b2·xe^(c2·x²)=0。

而显然f(0)=0。f(-x)=-ax-b1·xe^(c1·x²)+b2·xe^(c2·x²)=-f(x)，∴f(x)是奇函数。

而欲使f(x)=0有5个根，则根据奇函数性质，除了1个根是x=0之外，另外4个根两两关于原点对称。假设这5个根分别是±α、±β、0，则有：

f(α)=aα+b1·αe^(c1·α²)-b2·αe^(c2·α²)=0；

f(β)=aβ+b1·βe^(c1·β²)-b2·βe^(c2·β²)=0。

也就是说：[aα+b1·αe^(c1·α²)-b2·αe^(c2·α²)]-[aβ+b1·βe^(c1·β²)-b2·βe^(c2·β²)]=0

[aα+b1·αe^(c1·α²)-b2·αe^(c2·α²)]+[aβ+b1·βe^(c1·β²)-b2·βe^(c2·β²)]=0

化简，求解即可。