Question

高一 数学 直线与方程 请详细解答,谢谢! (8 10:58:33)

已知直线L经过点（1，3）且被两平行直线X+2Y+4=0，X+2Y-1=0截得的线段长为√10，求直线L的方程

Answer 1

两平行直线X+2Y+4=0,X+2Y-1=0间的距离=|-1-4|/√（1^2+2^2）=5/√5=√5
因为直线L被两平行直线X+2Y+4=0,X+2Y-1=0截得的线段长为√10
所以直线L与两平行直线的夹角为45度（√10=√2*√5）
直线L到一平行直线的角度为45度
设直线L的斜率为k1，平行直线的斜率为k2
易得k2=-1/2
根据到角公式得tanθ=(k2-k1)/(1+k2*k1)
tan45度=1=(-1/2 - k1)/[1 + (-1/2)*k1]
即-1/2 - k1=1 + (-1/2)*k1
即-1 - 2k1=2-k1
即k1=-3
又因为直线L过（1，3）
所以直线L的方程为y-3=-3(x-1)=-3x+3
即3x+y-6=0
即为直线L的方程

Answer 2

首先判断当直线斜率不存在的时候x=1
与两直线的交点线段长度为5/2 ,排除
所以直线L 的斜率一定存在，设为k
直线L 的方程 为 y-3=k(x-1)

两平行直线X+2Y+4=0，X+2Y-1=0 之间的距离为 （4+1）/√ (1+2²)= √ 5
√ 10 =√ 2 *√ 5
所以直线L 与 平行线的夹角为 45°或者是135°
平行线的 倾斜角 为a tan a =-1/2
直线L 的斜率为 tan（a+45°） 或者tan（a-45°）
结合公式
Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)
Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)

k= 倾斜角的tan值
k=-3或者是1/3
直线 为 y-3=-3（x-1）
或者 y-3=1/3(x-1)