Question

几道高二数学题

嗯~拜托了~
麻烦写过程~请尽量详细点~~
谢谢了~~

Answer 1

1.
(1)
a^2+b^2+5-2(2a-b)
=a^2+b^2+5-4a-2b
=(a^2-4a+4)+(b^2-2b+1)
=(a-2)^2+(b-1)^2
由于(a-2)^2>0 (b-1)^2>=0
所以上式大于等于0
即a^2+b^2+5>=2(2a-b)

(2)
a^2+b^2+c^2-（ab+bc+ca)
=2*(a^2+b^2+c^2-（ab+bc+ca))/2
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca))/2
=((a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2))/2
=((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2>=0
由于(a-b)^2、(b-c)^2、(c-a)^2均大于等于0
所以上式大于等于0
即a^2+b^2+c^2>=（ab+bc+ca)

2.
a^6+b^6-a^4b^2-a^2b^4
=a^4(a^2-b^2)-b^4(a^2-b^2)
=(a^4-b^4)*(a^2-b^2)
=(a^2+b^2)(a^2-b^2)*(a^2-b^2)
=(a^2+b^2)*(a^2-b^2)^2
由于a、b不相等所以a^2、b^2、(a^2-b^2)^2均大于0
所以上式大于0
即a^6+b^6>a^4b^2+a^2b^4

3.
a/√b+b/√a-(√a+√b)
=(a/√b+b/√a-(√a+√b))*√ab/√ab
=(a√a+b√b-a√b-b√a)/√ab
=(a(√a-√b)-b(√a-√b))/√ab
=(a-b)(√a-√b)/√ab
=(√a+√b)(√a-√b)(√a-√b)/√ab
=(√a+√b)(√a-√b)^2/√ab
由于a、b为正数且不相等
所以√a、√b、√ab、(√a-√b)^2均大于0
所以上式大于0
即a/√b+b/√a>√a+√b

4.
（1）
由于√3+√5和4都是正数
所以只要证明（√3+√5）^2<4^2即证明√3+√5<4
（√3+√5）^2-4^2
=8+2√15-16
=2√15-8
=2√15-2√16
=2(√15-√16)
<0
所以（√3+√5）^2<4^2
所以√3+√5<4

(2)
由于1=(√3+√2)(√3-√2)
所以1/(√3+√2)
=(√3+√2)(√3-√2)/(√3+√2)
=√3-√2
要证明1/(√3+√2)>√5-2
即要证明√3-√2>√5-2
也就是要证明√3+2>√5+√2
√3+2和√5+√2都是正数
所以只要证明（√3+2）^2>(√5+√2)^2
即要证明3+4√3+4>5+2√10+2
即7+√48>7+√40
此不等式显然成立
反推得1/(√3+√2)>√5-2

5.我之前答复的有点问题,这里改正一下
要证明√a-√(a-1)<√(a-2)-√(a-3)
即要证明√a+√(a-3) <√(a-1)+√(a-2)
由于a>=3
所以√a>√(a-1) √(a-2)>√(a-3)
即不等式两边都是正数，所以
只要证明(√a+√(a-3)）^2<(√(a-1)+√(a-2))^2即可
以上不等式展开得
a+a-3+2√(a(a-3))<a-1+a-2+2√((a-1)(a-2))
即√(a^2-3a)<√(a^2-3a+2)
显然a^2-3a<a^2-3a+2
所以反推可证明
√a-√(a-1)<√(a-2)-√(a-3)

6.
(a+b)(a^3+b^3)-(a^2+b^2)^2
=a^4+ab^3+ba^3+b^4-a^4-b^4
=ab^3+ba^3
=ab(b^2+a^2)
由于a、b为正数，所以ab>0
而b^2+a^2>0
所以上式大于0
即(a+b)(a^3+b^3)-(a^2+b^2)^2>0
即(a+b)(a^3+b^3)>(a^2+b^2)^2

7.
ax^2+by^2-(ax+by)^2
=ax^2+by^2-(a^2*x^2+b^2*y^2+2abxy)
=ax^2+by^2-a^2*x^2-b^2*y^2-2abxy
=ax^2*(1-a)+by^2(1-b)-2abxy
由于a+b=1所以1-a=b 1-b=a代入上式
得 ax^2*b+by^2*a-2abxy
=ab(x^2+y^2-2xy)
=ab(x-y)^2
由于a、b为正数，所以ab>0
而(x-y)^2>=0
所以上式大于等于0
即ax^2+by^2-(ax+by)^2>=0
即ax^2+by^2>=(ax+by)^2
8.
定义域 x∈（0，＋∞）

取 x1 ，x2∈∪（0，＋∞）且 x1小于x2

f（x1）－ f（x2）= 1/x1 + √x1 — 1/x2 — √x2

= （x2 — x1）/（x1x2）+ （x1 — x2）/（√x1 + √x2 ）

= （x2 — x1）〔（x1x2）+ （√x1 + √x2 ）〕

因为 x1小于x2，所以x2 — x1>0，因为 x1x2 和 √x1 + √x2 都是正数，

所以〔（x1x2）+ （√x1 + √x2 ）〕。

因此f（x1）－ f（x2）>0，即f（x1）大于 f（x2）
所以是减函数

9.
a,b,c,且m为正数
所以(a+m） (b+m） (c+m)都是大于0
要证a/(a+m) +b/(b+m)>c/(c+m)
即要a(b+m)*(c+m)+b(a+m)*(c+m)>c(a+m)(b+m)
即abc+abm+acm+amm+abc+abm+bcm+bmm-abc-acm-bcm-cmm>0
即abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
又因为a+b>c mm>0
所以amm+bmm>cmm
所以abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
得证

Answer 2

好多啊，先写几道吧
1.(1)（a-2）^2+(b+1)^2>=0，显然成立
(2)两边同乘2再配方，得(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0，显然成立
2.原式提公因式后得(a^4-b^4)*(a^2-b^2)>0
(a^2+b^2)*(a^2-b^2)^2>0,显然成立
3.原式左右同乘(根号a*根号b),再提公因式后得（a-b）*（根号a-根号b）>0
（根号a+根号b）*（根号a-根号b）^2>0,显然成立
4.（1）两边平方后，移项，再平方，易得。
(2)同理可证
5.两边平方，移项，可得
2<根号(a*(a-1))+根号((a-2)*(a-3))
因为a>=3,所以2<根号(a*(a-1))，显然成立