Question

高中数学题！暑假作业本上的

已知过点A（1，1）且斜率为-m（m>0) 的直线l与X轴，Y轴分别交予点P,Q。过点P ,Q分别作直线2X+Y=0 的垂线，垂足分别为点R,S。求四边形PRSQ的面积的最小值。
利尔德
RS的长怎么求出来的？

喔..知道了，谢了

Answer 1

过点A（1，1），且斜率为-m（m＞0）的直线为y=-mx+m+1，与x,y轴分别交于P(1/m+1,0),Q(0,m+1)。直线PR为y=(1/2)(x-1/m-1),直线QS为y=x/2+m+1。四边形PRSQ为直角梯形，上下两底的和为PR+QS=[(2/m+2)/√5]+(m+1)/√5,其高RS=(1/m+2m+3)/√5。四边形PRSQ的面积W=(2/m+m+3)(1/m+2m+3)/10=(2/m^2+2m^2+9/m+9m+14)/10≥3.6，当且仅当m=1时取“=”号。
所以，四边形PRSQ的面积的最小值为3.6。

参考:
面积最小值＝3.6
设P（a,0）,Q（0,b）.直线PQ的方程：x/a+y/b＝1.
过（1，1）。1/a+1/b＝1.得a+b＝ab.
以下ORP等等都是对应多边形的面积。
PRSQ＝ORP+OPQ+OQS.
ORP＝a²/5.（⊿ORP中，设OR＝t,则PR=2t,t²+（2t）²＝a².t²＝a²／5.
ORP＝（1/2）×OR×PR＝t²＝a²／5）
OQS＝b²/5.
QPQ＝ab／2
PRSQ＝（a²+b²）/5+ab／2＝（ab）²/5+ab／10.
注意1/a+1/b＝1
当1/a=1/b时。1/a×1/b最大，ab最小。此时a=b=2.
PRSQ＝16/5+4/10＝3.6.为最小值

Answer 2

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