Question

·已知a,b,c为不等的正数，且abc=1，求证√ a+√ b+√ c<1/a+1/b+1/c。根号√

·已知a,b,c为不等的正数，且abc=1，求证√ a+√ b+√ c<1/a+1/b+1/c。根号√

Answer 1

本题可构造局部不等式：
注意到由条件abc=1可知:
1/a=bc
1/b=ac
1/c=ab
所以由均值不等式：1/a+1/b=bc+ac>=2√(abc^2)
又由abc=1，则abc^2=c，所以1/a+1/b>=2√c
同理：1/b+1/c>=2√a
1/a+1/c>=2√b
以上三式相加后再两边除以2可得1/a+1/b+1/c>=√a+√b+√c
由于均值不等式等号成立条件可知要使等号成立，则a=b=c，而此时a,b,c不相等，故取不到等号，所以：
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

证毕。。

Answer 2

证明：
1/a+1/b+1/c
=abc/a+abc/b+abc/c
=bc+ac+ab
=(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2
>根号(abc*c)+根号(abc*b)+根号(abc*a)（a,b,c互不相等，故这里不取等号）
=根号a+根号b+根号c
故原式成立

Answer 3

a+b+c≥3√abc
所以1/a+1/b+1/c≥
3√1/a1/b1/c又因为abc=1
所以 。。。。。。。。。。

Answer 4

a,b,c>0
1/a+1/b+1/c=(a+1)(b+1)c
√ a+√ b+√ c<1/a+1/b+1/c