Question

函数的奇偶性周期性对称性

一个函数有奇偶性周期性对称性中的两个,就三个都有吗?一定成立吗?我们数学老师教的是一定成立,现在又有一个老师说不一定了.请一定详细的解答,感激不尽!

Answer 1

1、奇偶性：
f(x)=f(-x)或
f(x)=-f(-x)

2、对称性：
f(x+a)=f(-x+a)

3、周期性：
f(x+T)=f(x),T>0

偶+对称：
如果a不等于0
f(x)=f(-x)，f(x+a)=f(-x+a)
=> f(x+a)=f(-x+a)=f(x-a)
=> f(x+2a)=f(x)=> 周期
若a=0，上面这个不成立

奇+对称：
如果a不等于0
f(x)=-f(-x)，f(x+a)=f(-x+a)
=> f(x+a)=f(-x+a)=-f(x-a)
=> f(x+2a)=-f(x)
=> f(x+4a)=f(x) => 周期
如果a=0，f(x)=0，当然是周期函数

偶+周期：f(x)=f(-x)，f(x+T)=f(x)
=> f(x+T/2)=f(x-T/2)=f(-x+T/2) => 对称

奇+周期：f(x)=-f(-x)，f(x+T)=f(x)
不能得出对称性，如函数tanx

对称+周期：f(x+a)=f(-x+a)，f(x+T)=f(x)
不能得出奇偶性，如函数sin(x+pi/4)

总结：
偶+对称 => 周期 (如果对称轴不是x=0)
奇+对称 => 周期
偶+周期 => 对称
奇+周期 不能得出对称性
对称+周期 不能得出奇偶性

Answer 2

有奇偶性就是由对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
有奇偶性对称性不一定有周期性
有周期性对称性 就有奇偶性
有周期性奇偶性 就有对称性

Answer 3

不一定

比如 F(x)= x方

是偶函数 具有奇偶性

又关于Y轴对称 具有对称性

没有周期性

Answer 4

一个奇函数关于原点对称...两者具有...但不一定有周期性啊...

Answer 5

那要看对称性怎么理解了