Question

已知函数f（x）=loga为底（1-mx）/（x-1）（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数

1求实数m的值2判断函数f（x）在（1，﹢∞）上的单调性，并给出证明3当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值

Answer 1

f(x)是奇函数

则有f(-x)=-f(x)

即 loga[(1+mx)/(-x-1)] = -loga[(1-mx)/x-1] = loga[(x-1)/(1-mx)]

则 (1+mx)/(-x-1)=(x-1)/(1-mx)

化简得
(1-m^2)x^2=0
因x≠0
则 m=1 ,或 m=-1，代入原式验证，显然m=1不合题意是奇函数。

所以 m=-1

判断f(x)在(1,+∞)上的单调性
易求得f（x）的定义域为 (-∞,-1)U(1,+∞)

因 f(x) = loga(x+1)/(x-1) = loga [1 +2/(x-1)]

易知 g(x)= 1 +2/(x-1)为(1,+∞)上的减函数。
下面分类讨论：
若0<a<1时
f(x)为增函数。
若a>1时
f(x)为减函数。

第三题：
对于函数f(x) = loga(x+1)/(x-1)
若0<a<1 时
函数f(x)的值域是（1，+∞）
则
0<(x+1)/(x-1)<a
解得
-2/(1-a)<x<-1
因定义域为x∈(n,a-2)
则
-2/(1-a)=n
-1 =a-2
无解。

若a>1 时
函数f(x)的值域是（1，+∞）
则应该有
a<(x+1)/(x-1)
即
[(a-1)x-(a+1)]/(x-1)<0
解得
1<x<(a+1)/(a-1)
因定义域为x∈(n,a-2)
则有
n=1
a-2 = (a+1)/(a-1)
解得
a= 2+√3或 a= 2-√3(舍去)

所以 n=1, a= 2+√3 祝您愉快.