完全平方公式的运用。

SYLVIA樱
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完全平方公式
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完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解),(配图只适用于合的公式)
目录
1使用误解
2学习方法
3完全平方公式
4公式变形
▪ 变形的方法
▪ 数字变形的应用
5注意事项
6其他变形
1使用误解编辑
①漏下了一次项
②混淆公式
③运算结果中符号错误
④变式应用难于掌握。

以上两个公式可合并成一个公式:

。(注意:后面一定是加号)
右图中的公式不适用于完全平方公式(差的平方)这个图只适用于和的公

完全平方公式(两数差的平方)
式,因此,此图在误区内
2学习方法编辑
公式特征
学会用文字概述公式的含义:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征:
左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍;
左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内).
公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
3完全平方公式编辑
前平方,后平方,二倍乘积在中央。
同号加、异号减,符号添在异号前。
即 (a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
4公式变形编辑
变形的方法
(一)、变符号:
例1:运用完全平方公式计算:
(1)(-4x+3y)2 (2)(-a-b)2
分析:本例改变了公式中a、b的符号,以第二小题为例,处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a,将(-b)看成原来公式中的b,即可直接套用公式计算。
解答:(1)16x2-24xy+9y2
(2)a2+2ab+b2
(二)、变项数:
例2:计算:(3a+2b+c)2
分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所以在运用公式时,(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2,直接套用公式计算。
解答:9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2
(三)、变结构
例3:运用公式计算:
(1)(x+y)(2x+2y)
(2)(a+b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)

(2)

(3)

数字变形的应用
例4:计算:
(1)9992
(2)100.12
分析:本例中的999接近1000,100.1接近100,故可化成两个数的和或差,从而运用完全平方公式计算。
即:(1)(1000-1)2 =998001(2)(100+0.1)2=10020.01
公式的变形:熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换求知值的关键。
例5:已知实数a、b满足(a+b)2=10,ab=1。
求下列各式的值:
(1)a2+b2;(2)(a-b)2
分析:此例是典型的整式求值问题,若按常规思维把a、b的值分别求出来,非常困难;仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。
即:(1)

(2)

5注意事项编辑
左边是一个二项式的完全平方。
右边是二项平方和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,a和b可是数,单项式,多项式。
不论是(a+b)2还是(a-b)2,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
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