Question

已知a∈R，函数f(x)=x|x-a|，求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。

分类讨论。

Answer 1

x在[1,2]区间：
若a<=1,则f(x)=x(x-a)=x²-ax=(x-a/2)²-a²/4, 在[1,2]单调增，最小值为f(1)=1-a;
若a>=2,则f(x)=x(a-x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4,
当a>=4时，在[1,2]单调增，最小值为f(1)=a-1;
当3=<a<4时，最小值为f(1)=a-1;
当2=<a<3时,最小值为f(2)=2a-4;
若1<a<2, 因f(x)>=0, 所以最小值为f(a)=0.