Question

已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m＜=2时，证明f(x)>-ln2

Answer 1

f(x)=e^(x-m)-ln(2x)>=e^(x-2)-ln(2x),即证e^(x-2)-ln(2x)>-ln2,即e^(x-2)>ln(2x)-ln2=1nx,令g(x)=e^(x-2)-1nx,g'(x)=e^(x-2)-1/x,显然g'(x)递增，设g'(x)=e^(x-2)-1/x=0的根为x1,则g(x)在（0,x1)递减，在（x1,+8)递增，故在x=x1取最小值。e^（x1-2)=1/x1,取对数得x1-2=1n(1/x1),即2-x1=1nx1且易知x1>1,故有1nx1=2-x1<1/x1,则e^（x1-2)=1/x1>1nx1，有g(x)>=g(x1)=e^（x1-2)-1nx1>0,故对x>0，都有g(x)>0,即e^(x-2)>1nx=1n2x-1n2,e^（x-2)-1n2x>-1n2,所以当m<=2时，f(x)=e^(x-m)-ln(2x)>=e^(x-2)-ln(2x)>-1n2,即f(x)>-1n2。