Question

高等代数题，写出线性方程组AX=0和AX=β解的性质以及它们之间的关系

老师上课的时候出的题，不明白他说的是什么意思，书上也没有找到，求热心网友帮忙。谢谢！

Answer 1

AX=0：任意有限个解的线性组合还是解。
Ax=β：Ax=β的任意两个解的差是Ax=0的解；Ax=β的解与Ax=0的解的和是Ax=β的解。

根据它们的解的性质，就可以很容易推导出齐次与非齐次线性方程组的通解结构：
知道Ax=0的n-r个线性无关的解α1,α2,...,α(n-r)，它们的线性组合x=C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)就是Ax=0的通解，其中r是A的秩。
知道Ax=β的一个解x*以及Ax=0的通解x=C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)，可知Ax=β的通解是x=x*+C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)。

Answer 2

（1）线性方程组AX=0的解的性质：
线性方程组AX=0的任意有限个解的线性组合还是线性方程组AX=0的解。

（2）AX=0和AX=β解之间的关系：
AX=β解任意两个解的差一定是AX=0的解。AX=0的一个解与AX=β的一个解的和是AX=β的解。