Question

在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M、N两点

三角形MNF面积的最大值为1，设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点，Q(m，n）是单位圆x2+y2=1上任意一点，使向量OP=m向量OA+n向量OB,求证：直线OA与向量OB的斜率之积为定值

Answer 1

设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把点A，B代入椭圆方程可得 x212+y21＝1③， x222+y22＝1④，又Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点可得m²+n²=1⑤，
由 OP＝m OA+n OB，得到 x＝mx1+nx2y＝my1+ny2.因P在椭圆上，故 (mx1+nx2)22+(my1+ny2)2＝1． 把③④⑤代入上式即可得出x₁，y₁，x₂，y₂，满足的式子即可证明结论；
②利用①的结论kOAkOB＝y1y2x1x2＝−12为定值．可得故 y21+y22＝1． 及  又(x212+y21)+(x222+y22)＝2，可得 x21+x22＝2．故可证明OA²+OB²= x21+y21+x22+y22为定值．