Question

设P是椭圆（x^2）/25+（y^2）/9=1上的动点，F1,F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。

求分析过程。

Answer 1

答：
椭圆x²/25+y²/9=1
所以：a=5，b=3
解得：c²=25-9=16
所以：c=4
所以：
PF1+PF2=2a=10
F1F2=2c=8

根据余弦定理有：
cos∠F1PF2
=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2PF1*PF2)
=[(PF1+PF2)²-2PF1*PF2-64]/(2PF1*PF2)
=(100-2PF1*PF2-64)/(2PF1*PF2)
=18/(PF1*PF2)-1
因为：PF1*PF2<=(1/4)(PF1+PF2)²=(1/4)*100=25
所以：18/(PF1*PF2)-1>=18/25-1=-7/25
所以：cos∠F1PF2)>=-7/25
当∠F1PF2=90°时，sin∠F1PF2取得最大值1