Question

已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且根号2aCosB=cCosB+bCosC

已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且根号2aCosB=cCosB+bCosC
(1)求角B的大小
(2)设向量m=(cosA,cos2A),n=(12,-5),求当m·n取最大值时,tanC的值

Answer 1

（1）
2acosB=ccosB+bcosC
根据正弦定理：
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
即2sinAcosB=sin(C+B)=sinA
∵sinA>0
∴cosB=1/2
∴B=π/3
(2)

向量m=(cosA,cos2A),n=(12,-5)

mn=12cosA-5cos2A
=12cosA-5(2cos²A-1)
=-10cos²A+12cosA+5
=-10(cosA-3/5)²+43/5
当cosA=3/5时，mn取得最大值
此时sinA=4/5,sinB=√3/2,cosB=1/2,sinC=sin（A+B)=(4+3√3)/10,cosC=-cos(A+B)=(4√3-3)/10,tanC=(4+3√3)/10/(4√3-3)/10=(4+3√3)/(4√3-3)