Question

已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax^。a属于R，令f（x）

已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax^。a属于R，令f（x）=g（x）+h（x的导数），当a小于0时，求f（x）单调区间

Answer 1

答：
g(x)=(2-a)lnx，h(x)=lnx+ax^2
h'(x)=1/x+2ax
f(x)=g(x)+h'(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
f(x)对x求导得：
f'(x)=(2-a)/x-1/x^2+2a，x>0
设f'(x)=0有：(2-a)/x-1/x^2+2a=0
整理得：
2ax^2+(2-a)x-1=0
(2x-1)(ax+1)=0
x=1/2或者x=-1/a>0
x=1/2=-1/a时：a=-2
1）-2<a<0时，x1=1/2<x2=-1/a
0<x<1/2或者x>-1/a时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数，递减区间（0，1/2]或者[-1/a，+∞)
1/2<x<-1/a时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数，递增区间[1/2，-1/a]
2）a=-2时，f'(x)<=0恒成立，单调递减区间为（0，+∞）
3）a<-2时，x1=1/2>x2=-1/a>0
0<x<-1/a或者x>1/2时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数，递减区间（0，-1/a]或者[1/2，+∞)
-1/a<x<1/2时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数，递增区间[-1/a，1/2]