Question

高中数学，高分求详解~~

已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点，则：(a²+2ab+2ac+4bc)/(b²-2bc+c²)的最小值为？
注：不要复制网上那个答案，太繁琐了，不喜欢~~

Answer 1

函数f(x)=3x+a,与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点，
f(x)与g(x)均为增函数
那么{f(b)=3b+a<0 ==>b<-a/3
{g(b)=3b+2a<0 ==>b<-2a/3
{f(c)= 3c+a>0 ==> c>-a/3
{g(c)=3c+2a>0 ==> c>-2a/3

(a^2+2ab+2ac+4bc)/(b^2-2bc+c^2)
=(a+2b)(a+2c)/(b-c)^2
=4(b+a/2)(c+a/2)/[(b+a/2)-(c+a/2)]^2

当a>0时,
b<-2a/3 , c>-a/3
b+a/2<-a/6<0,c+a/2>a/6>0

当a<0时，
b<-a/3 ,c>-2a/3
b+a/2<a/6<0,c+a/2>-a/6>0

a=0时，b+a/2<0,c+a/2>0也成立

总有b+a/2<0, c+a/2>0

设b+a/2=x<0,c+a/2=y>0
那么原式=4xy/(x-y)^2
∵ (x-y)^2=(|x|+|y|)^2=x^2+y^2+2|xy|≥4|xy|
∴ -1≤4xy/(x-y)^2<0
∴(a^2+2ab+2ac+4bc)/(b^2-2bc+c^2)的最小值为-1