Question

已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x在[0,1]时，f(x)=x

已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x在[0,1]时，f(x)=x，若在区间[-1,3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

Answer 1

x在[0,1],f(x)=x
由于f(x)是偶函数，x在[-1,0],f(x)=-x

f(x)是周期为2的函数 f(2)=f(0)=0

函数解析式：y=-x+2

x在[2,3]时，函数解析式：y=x-2

g(x)仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点。

x在[-1,0) g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k
令g(x)=0 x=-k/(k+1)
-1≤-k/(k+1)<0
解得k>0

x在(0,1] g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k
令g(x)=0 x=k/(1-k)
0<k/(1-k)≤1
解的0<k≤1/2

x在(1,2] g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k
令g(x)=0 x=(2-k)/(k+1)
1<(2-k)/(k+1)≤2
解的0≤k<1/2
x在(2,3] g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k
令g(x)=0 x=(k+2)/(1-k)
2<(k+2)/(1-k)≤3
解的0<k≤1/4

综上，k的取值范围为：0<k≤1/4

Answer 2

x在[0,1],f(x)=x
由于f(x)是偶函数，x在[-1,0],f(x)=-x
f(x)是周期为2的函数
f(2)=f(0)=0
函数解析式：y=-x+2
x在[2,3]时，函数解析式：y=x-2
g(x)仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点。
x在[-1,0)
g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k
令g(x)=0
x=-k/(k+1)
-1≤-k/(k+1)<0
解得k>0
x在(0,1]
g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k
令g(x)=0
x=k/(1-k)
0<k/(1-k)≤1
解的0<k≤1/2
x在(1,2]
g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k
令g(x)=0
x=(2-k)/(k+1)
1<(2-k)/(k+1)≤2
解的0≤k<1/2
x在(2,3]
g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k
令g(x)=0
x=(k+2)/(1-k)
2<(k+2)/(1-k)≤3
解的0<k≤1/4
综上，k的取值范围为：0<k≤1/4

Answer 3

x在[0,1],f(x)=x
由于f(x)是偶函数，x在[-1,0],f(x)=-x
f(x)是周期为2的函数f(2)=f(0)=0
函数解析式：y=-x+2
x在[2,3]时，函数解析式：y=x-2
g(x)仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点。
x在[-1,0)g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k
令g(x)=0x=-k/(k+1)
-1≤-k/(k+1)<0
解得k>0
x在(0,1]g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k
令g(x)=0x=k/(1-k)
0<k/(1-k)≤1
解的0<k≤1/2
x在(1,2]g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k
令g(x)=0x=(2-k)/(k+1)
1<(2-k)/(k+1)≤2
解的0≤k<1/2
x在(2,3]g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k
令g(x)=0x=(k+2)/(1-k)
2<(k+2)/(1-k)≤3
解的0<k≤1/4
综上，k的取值范围为：0<k≤1/4

Answer 4

因为他是周期为二的偶函数 通过图形可知他是夹在X=1和横坐标轴的W图形，[-1,3]是两个周期，x这时候只要在一个周期内有两个交点，f(x)=(k+1)x转化到f(x)在0到2区间内小于1 大于0即可 （k+1)x<1求得 x在-1到-2/3 闭区间上