Question

求助，解高数题。谢谢！！！！

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Answer 1

11.求y'-2y=x的通解
解：先求齐次方程y'-2y=0的通解。
y'=2y，分离变量得dy/y=2dx，积分之得lny=2x+lnC；即y=e^(2x+lnC)=Ce^(2x)；
将积分常数换成x的函数u，(参数变易法)得y=ue^(2x)............(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x).........(2)
将(1)和(2)一起代入原方程得(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x)-2ue^(2x)=x
化简得(du/dx)e^(2x)=x，分离变量得du=xe^(-2x)dx；
积分之得u=∫xe^(-2x)dx=-(1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C
代入(1)式得y=[-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C]e^(2x)=-(1/2)(x+1/2)+Ce^(2x).
故原方程的通解为y=Ce^(2x)-(1/2)x-1/4.
6.求定积分【0，1】∫e^√(x+1)dx
解：令√(x+1)=u，则x+1=u²，x=u²-1，dx=2udu；x=0时u=1；x=1时u=√2；代入原式得：
原式=【1，√2】2∫ue^udu=【1，√2】2∫ud(e^u)=【1，√2】2[ue^u-∫e^udu]
=2[ue^u-e^u]【1，√2】=2(u-1)e^u【1，√2】=2(√2-1)e^√2
5。xy+x²+y²=3在(1，1)处的切线和法线方程
解：设F(x，y)=xy+x²+y²-3=0，则
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(y+2x)/(x+2y)，故y'(1，1)=-1
于是得(1，1)处的切线方程为y=-(x-1)+1=-x+2.
(1，1)处的法线方程为y=(x-1)+1=x.
6。求广义积分【1，+∞】∫dx/√(1+x²)
解：令x=tanu，则dx=sec²udu；x=1时u=π/4；x→+∞时u→π/2，故
原式=【π/4，π/2】∫secudu=ln(secu+tanu)【π/4，π/2】
=u→π/2lim[ln(secu+tanu)-ln(√2+1)
=u→π/2lim[ln(1/cosu+sinu/cosu)]-ln(1+√2)
=u→π/2lim[ln(1+sinu)/cosu]-ln(1+√2)
=+∞
9。求定积分【0，π】∫[(xsinx)/cos²x]dx
解：原式=【0，π】∫xsecxtanxdx=【0，π】∫xd(secx)
=【0，π】[xsecx-∫secxdx]
=【0，π】[xsecx-ln(secx+tanx)]
=【0，π/2】[xsecx-ln(secx+tanx)]+【π/2，π】[xsecx-ln∣(secx+tanx)∣]
=x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]-π-{x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]}
=-π

追问

谢谢！！！！