Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)是奇函数,函数f(x+3)关于直线x=1对称则周期是？

Answer 1

f(x)的周期为8

函数f(x)满足f(2-x)是奇函数
那么f(2+x)=-f(2-x) ,
f(x)图像关于(2,0)对称
f(x)=-f(4-x)

函数f(x+3)关于直线x=1对称,
f(x)向左平移3个单位得到f(x+3)
那么f(x)关于x=4对称，
即f(4+x)=f(4-x)
∵f(4-x)=-f(x)
∴f(4+x)=-f(x)
∴f(8+x)=-f(4+x)=f(x)
∴f(x)的周期为8

Answer 2

（1）F(x)=f(2-x)为奇函数，F(-x)=-F(x)，f(2+x)=-f(2-x)，【即f(x)的图像关于点(2，0)对称】
（2）G(x)=f(x+3)，G(x)图像关于直线x=1对称，即G(1+x)=G(1-x)，f[(1+x)+3]=f[(1-x)+3]，f(4+x)=f(4-x)，【即f(x)的图像关于直线x=4对称】
（3）
f(x)
=f[4+(x-4)]
=f[4-(x-4)]——一次轴对称
=f(8-x)
=f[2+(6-x)]
=-f[2-(6-x)]——一次中心对称
=-f(x-4)
=-f[4+(x-8)]
=-f[4-(x-8)]——再一次轴对称
=-f(-x+12)
=-f[2+(-x+10)]
=f[2-(-x+10)]——再一次中心对称
=f(x-8)
所以f(x)是周期函数，8是函数的一个正周期。