大学代数几何相关题目
Forwhatvaluesofmisthecubicx0³+x1³+x2³+mx0x1x2=0inP²nonsingular?Fi...
For what values of m is the cubic x0³+x1³+x2³+mx0x1x2=0 in P² nonsingular?Find its inflexion points.
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方便起见换一下字母: X³+Y³+Z³+mXYZ = 0.
题目没有说明是在那个域上讨论的, 以下讨论适用于特征不等于2, 3的域K.
分为两种情况: ①x²+x+1 = 0在K上无解, K中的3次单位根只有1;
②x²+x+1 = 0在K上有解, 设ω是一个解, K中的3次单位根有1, ω, ω².
曲线的奇点满足方程组3X²+mYZ = 3Y²+mXZ = 3Z²+mXY = 0.
若X, Y, Z中有0, 易得X = Y = Z = 0, 不对应P²中的点.
故只需考虑XYZ ≠ 0, 而由方程可得m³X²Y²Z² = -27X²Y²Z², 因此m³ = -27.
而当m³ = -27, 易见(-3:m:m)总是曲线的奇点.
因此曲线非奇异的充要条件是m³ ≠ -27.
对情况①, 这等价于m ≠ -3; 而对情况②, 这等价于m ≠ -3, -3ω, -3ω²
曲线的Hessian判别式det([6X,mZ,mY;mZ,6Y,mX;mY,mX,6Z]) = (216+2m³)XYZ-6m²(X³+Y³+Z³).
与X³+Y³+Z³+mXYZ = 0联立得8(27+m³)XYZ = 0.
而m³ ≠ -27, 故XYZ = 0. 分别将X = 0, Y = 0, Z = 0代回方程可求得拐点.
对情况①, 在K上有3个拐点: (0:1:-1), (1:0:-1), (1:-1:0).
对情况②, 在K上有9个拐点:
(0:1:-1), (1:0:-1), (1:-1:0), (0:1:-ω), (1:0:-ω), (1:-ω:0), (0:1:-ω²), (1:0:-ω²), (1:-ω²:0).
题目没有说明是在那个域上讨论的, 以下讨论适用于特征不等于2, 3的域K.
分为两种情况: ①x²+x+1 = 0在K上无解, K中的3次单位根只有1;
②x²+x+1 = 0在K上有解, 设ω是一个解, K中的3次单位根有1, ω, ω².
曲线的奇点满足方程组3X²+mYZ = 3Y²+mXZ = 3Z²+mXY = 0.
若X, Y, Z中有0, 易得X = Y = Z = 0, 不对应P²中的点.
故只需考虑XYZ ≠ 0, 而由方程可得m³X²Y²Z² = -27X²Y²Z², 因此m³ = -27.
而当m³ = -27, 易见(-3:m:m)总是曲线的奇点.
因此曲线非奇异的充要条件是m³ ≠ -27.
对情况①, 这等价于m ≠ -3; 而对情况②, 这等价于m ≠ -3, -3ω, -3ω²
曲线的Hessian判别式det([6X,mZ,mY;mZ,6Y,mX;mY,mX,6Z]) = (216+2m³)XYZ-6m²(X³+Y³+Z³).
与X³+Y³+Z³+mXYZ = 0联立得8(27+m³)XYZ = 0.
而m³ ≠ -27, 故XYZ = 0. 分别将X = 0, Y = 0, Z = 0代回方程可求得拐点.
对情况①, 在K上有3个拐点: (0:1:-1), (1:0:-1), (1:-1:0).
对情况②, 在K上有9个拐点:
(0:1:-1), (1:0:-1), (1:-1:0), (0:1:-ω), (1:0:-ω), (1:-ω:0), (0:1:-ω²), (1:0:-ω²), (1:-ω²:0).
更多追问追答
追问
你是指x²+x+1 = 0的解在P²有限域上可能有两种情况吗？
追答
不只是有限域.
情况①的例子如Q, Q(i), Q(π), R, F5, F125...
情况②的例子如Q(i√3), C, F7, F25...
如果是代数闭域就都是情况②, 前提是特征不等于2, 3.
特征3的时候曲线一定有奇点, 特征2的时候Hessian判别式恒为0(不适用).
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