Question

高一函数对称性问题

1 若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则y=f（x）的图像关于直线y=（a+b）／2对称
2 函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于x=（b-a）／2对称 请问这是怎么推导出的？O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

○推导:令t=a+x,则x=t-a

由f(a+x)=f(b-x)可得f(t)=f(a+b-t)

用x替换t

得f(x)=f(a+b-x)

所以y=f(x)的图像关于图像关于x=(a+b)/2对称

可画图

证明:取f(x)上一点(x0,y0),证明它关于x=(a+b)/2对称的点在函数图象上.

○推导:令y=f(a+x)=f(b-x)时，即当两个y值相等

此时a+x=b-x,所以2x=(b-a),x=(b-a)/2，

所以使y值相等的所有x值关于x=(b-a)/2对称，所有两函数关于x=(b-a)/2对称

证明:方法同上

在任取x=x0,其对称点横坐标为x=b-a-x0 
对于y=f(a+x)，代入x=x0，得y=f(a+x0) 
对于y=f(b-x)，代入x=x0,得y=f(b-(b-a-x0))=f(a+x0)