Question

设f(x)=ax+b,且∫(-1,1)[f(x)]^2dx=1,求f(a)的取值范围

请详细一点

Answer 1

答：
f(x)=ax+b
(-1→1) ∫ f²(x) dx=1
(-1→1) ∫ (ax+b)² dx=1
(-1→1) ∫ (a²x²+2abx+b²) dx=1
(-1→1) (a²x³/3+abx²+b²x)=1
(a²/3+ab+b²)-(-a²/3+ab-b²)=1
所以：
2a²/3+2b²=1
所以：
a²+3b²=3/2
所以：0<=b²<=1/2，-√2/2<=b<=√2/2
f(a)=a²+b
=3/2-3b²+b
=-3(b²-b/3+1/36)+1/12+3/2
=-3(b-1/6)²+19/12
当b=1/6时取得最大值19/12
当b=-√2/2时取得最小值f(a)=3/2-3/2-√2/2=-√2/2
所以：f(a)的取值范围是[-√2/2，19/12]