Question

如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，直线CB交⊙O1于点D，

如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，直线CB交⊙O1于点D，直线DA交⊙O2于点E，试证明：AC=EC。

求详解

Answer 1

证明：连接AB，BE
1，∵AC为圆O1的切线（已知）
∴AC²=BC·DC……①（切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。）
且∠CAB=ADC（弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角,）
2，∵∠CAB=∠CEB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）
∴∠ADC=∠CEB（等量公理）
∵∠BCE是公用角
∴⊿DEC∽⊿EBC（两角对应相等的两三角形相似）
∴DC/EC=EC/BC（相似三角形对应边成比例）
即：EC²=BC·DC……②（比例性质）
3，由①②得：AC²=EC²，则AC=EC

Answer 2

连接AB，延长CA到任一点F
∠E=∠ABD（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）
∠FAD=∠ABD（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，这个定理有的版本教材已经删去，如果是这样只好再做一条直径进行证明）
∠FAD=∠EAC（对顶角相等）
得∠E=∠EAC
得CE=AC

Answer 3