Question

设m为实数,函数f(x)=x²+|m-x|,x属于R

1)求f（x）的奇偶性 2）求函数f（x）的最小值

Answer 1

1）因为 f(-x)=x²+|m+x|≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，所以 f(x) 既非奇函数亦非偶函数；
2）函数的最小值依据 m 的取值范围而不同；
若 x≤m，则 f(x)=x²-x+m=[x-(1/2)]²+m-(1/4)；当 m≥1/2，最小 f(x)=f(1/2)=m-(1/4)；
当 m<1/2 ，最小 f(x)=f(m)=m²；
若 x≥m，则 f(x)=x²+x-m=[x+(1/2)]²-m-(1/4)；当 m≤-1/2，最小 f(x)=f2(-1/2)=-m-(1/4)；
当 m>-1/2，最小 f(x)=f(m)=m²；
综上，当 m≤-1/2，最小 f(x)=-m-(1/4)；
当 -1/2<m<1/2，最小 f(x)=m²；
当 m≥1/2，最小 f(x)=m-(1/4)；

Answer 2

第一题要分类讨论：
当m＝0时，f(x)=x²+|x|为偶函数,
当m≠0时f(-x)=x²+|m+x|≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，所以 f(x) 为非奇非偶函数；
第二题
若 x≤m，则 f(x)=x²-x+m=[x-(1/2)]²+m-(1/4)；
当 m≥1/2，则函数f(x)最小在对称轴即x=1/2，所以最小 f(x)=f(1/2)=m-(1/4)；
当 m<1/2 ，则函数f(x)在(负无穷，m]上单调递减，所以最小 f(x)=f(m)=m²；

若 x≥m，则 f(x)=x²+x-m=[x+(1/2)]²-m-(1/4)；
当 m≤-1/2，则函数f(x)最小在对称轴，即x=1/2,所以最小 f(x)=f(-1/2)=-m-(1/4)；
当 m>-1/2，则函数f(x)在[m,正无穷)上单调递增，所以最小 f(x)=f(m)=m²；

综上，当 m≤-1/2，最小 f(x)=-m-(1/4)；
当 -1/2<m<1/2，最小 f(x)=m²；
当 m≥1/2，最小 f(x)=m-(1/4)；