Question

如图,已知抛物线y=½x²+bx+c与x轴交于点A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C点

（1）求此抛物线的解析式
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标
（3）若P为抛物线上A,C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标

Answer 1

(1)

已知抛物线与x轴的两个交点为A(-4，0)和B(1，0)，代入得到：

(1/2)*16-4b+c=0 ===> 4b-c=8

(1/2)+b+c=0 ===> b+c=-1/2

联立解得：b=3/2，c=-2

所以，抛物线解析式为：y=(1/2)x²+(3/2)x-2

(2)草图如下

当S△CEF=2S△BEF时，CF=2BF

则，BF/BC=1/3

因为EF//AC

所以，BE/BA=BF/BC=1/3

===> BE/5=1/3

===> BE=5/3

所以，E(-2/3,0)

(3)

已知A(-4，0)，C(0，-2)

所以，AC所在直线为：y=(-1/2)x-2

设点P横坐标为a（-4＜a＜0），则纵坐标为(1/2)a²+(3/2)a-2

因为PQ//y轴，则Q的横坐标为a，纵坐标为(-1/2)a-2

所以，PQ=(-1/2)a-2-[(1/2)a²+(3/2)a-2]

=(-1/2)a²-2a=(-1/2)(a²+4a)

=(-1/2)[(a²+4a+4)-4]

=(-1/2)(a+2)²+2

所以，当a=-2时有最大值

此时，P(-2，-3)