Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭圆上一点

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭圆上一点。向量PF1×向量PF2=3/4，OP的绝对值=根号7/2
1、求椭圆C的方程
2、过点S(0,-1/3)的动直线l交与椭圆C与A，B两点，试问：在y轴上是否存在一个定点M，使得以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
⑴∵e=c/a=√2/2，
∴c²=b²=a²/2，
椭圆方程变为：x²+2y²=a²(a>b>0)，
设P(x，y)，则→F1P=(x+c，y)，→F2P=(x-c，y)，由题意得：
x²+y²=(√7/2)²=7/4，
(x+c)(x-c)+y²=x²+y²-c²=3/4，
解得c=1，故a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为：x²/2+y²=1；
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⑵当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²，
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1，
∴两圆的切点为点(0，1)，
猜想所求的点M为点(0，1)，证明如下：
①当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点(0，1)；
②当直线l与x轴不垂直时，可设直线l：y=kx−1/3，
连立椭圆方程x²/2+y²=1，得：
(18k²+9)x²-12kx-16=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
x1+x2=12k/(18k²+9)，x1x2=−16/(18k²+9)，
→MA=(x1，y1-1)，→MB=(x2，y2-1)，
∴→MA•→MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1
=(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9
=(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9
=-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9
=0
∴MA⊥MB，即以AB为直径的圆过点(0，1)．
综上所述，存在一个定点M(0，1)，使得以AB为直径的圆恒过定点M．
【解决这类问题时，可以先假设存在这个定点，再通过特殊位置求出这个定点的坐标，最后求证这个定点符合题意．】
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Answer 2

213213五千多